Considere o seguinte sinal: x(t)=\operatorname{rampa}(t) u(2-t). Esboce:
(a) x(-t)
(b) x(2 t)
(c) x(-t)+x(+t)
(d) 2 x(t-3)
(e) -2 x((t-1) / 2)

Passo 1

O enunciado define
x(t)=\operatorname{rampa}(t)\,u(2-t),
onde \operatorname{rampa}(t)=\begin{cases}t,&t\ge0,\\\ 0,&t<0\end{cases} e u(\cdot) é o degrau unitário.
Isso significa que x(t) cresce linearmente de 0 até 2 e vale zero fora de [0,2]. Para esboçar as transformações, vamos primeiro escrever x(t) em forma piecewise e lembrar como se comportam tempo-inversão, escala e deslocamento.

Passo 2

Expressão de x(t)\) e forma do gráfico: \[x(t)= \begin{cases} t, & 0\le t\le2,\\\\ 0, & \text{caso contrário}. \end{cases}
No gráfico é um segmento de reta de inclinação +1\] que vai de \((0,0) a (2,2), e zero fora.

Passo 3

Sinal x(-t)\): invertemos o eixo \(t\mapsto -t\), mantendo o valor. Assim \[x(-t)= \begin{cases} -\,t, & -2\le t\le0,\\\\ 0, & \text{caso contrário}. \end{cases}
É um segmento de reta de inclinação -1\] que parte de \((-2,2) e vai até (0,0), zero fora.

Passo 4

Sinal x(2t)\): comprimimos o tempo por fator \(2\). Com isso \[x(2t)= \begin{cases} 2t, & 0\le t\le1,\\\\ 0, & \text{caso contrário}. \end{cases}
É um segmento de reta de inclinação +2\] que vai de \((0,0) até (1,2), e zero para t<0 ou t>1.

Passo 5

Sinal x(-t)+x(t)\): somamos o gráfico de \(x(-t)\) (não nulo em \([-2,0]\)) com o de \(x(t)\) (não nulo em \([0,2]\)): \[x(-t)+x(t)= \begin{cases} -\,t, & -2\le t\le0,\\\ t, & 0\le t\le2,\\\\ 0, & \text{caso contrário}. \end{cases}
O resultado é um “V” simétrico em zero, caindo de (\\ -2,2)\] até \((0,0) e subindo até (2,2).

Passo 6

Sinal 2\,x(t-3)\): deslocamos \(x(t)\) em \(+3\) e dobramos a amplitude. Fica \[2\,x(t-3)= \begin{cases} 2\,(t-3), & 3\le t\le5,\\\\ 0, & \text{caso contrário}. \end{cases}
É um segmento de reta de inclinação +2\] que vai de \((3,0) a (5,4), e zero fora.

Passo 7

Sinal -2\,x\bigl(\tfrac{t-1}{2}\bigr)\): primeiro substituímos \(t\mapsto (t-1)/2\), depois dobramos e invertemos a amplitude. Obtemos \[-2\,x\!\bigl(\tfrac{t-1}{2}\bigr)= \begin{cases} -(t-1), & 1\le t\le5,\\\\ 0, & \text{caso contrário}. \end{cases}
É um segmento de reta de inclinação -1\] que vai de \((1,0) a (5,-4), e zero fora.

Resposta

(a)
x(-t)= \begin{cases} -\,t, & -2\le t\le0,\\\\ 0, & \text{caso contrário}, \end{cases}á
reta decrescente de [(-2,2)) a (0,0).
(b)
x(2t)= \begin{cases} 2t, & 0\le t\le1,\\\\ 0, & \text{caso contrário}, \end{cases}á
reta crescente de (0,0)\] a \[(1,2).
(c)
x(-t)+x(t)= \begin{cases} -\,t, & -2\le t\le0,\\\ t, & 0\le t\le2,\\\\ 0, & \text{caso contrário}, \end{cases}á
“V” simétrico com vértice em ((0,0)].
(d)
2\,x(t-3)= \begin{cases} 2\,(t-3), & 3\le t\le5,\\\\ 0, & \text{caso contrário}, \end{cases}á
reta de [(3,0)) a (5,4).
(e)
-2\,x\!\bigl(\tfrac{t-1}{2}\bigr)= \begin{cases} -(t-1), & 1\le t\le5,\\\\ 0, & \text{caso contrário}, \end{cases}á
reta decrescente de (1,0)\] a \((5,-4).

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