onde \operatorname{rampa}(t)=\begin{cases}t,&t\ge0,\\\ 0,&t<0\end{cases} e u(\cdot) é o degrau unitário.
Isso significa que x(t) cresce linearmente de 0 até 2 e vale zero fora de [0,2]. Para esboçar as transformações, vamos primeiro escrever x(t) em forma piecewise e lembrar como se comportam tempo-inversão, escala e deslocamento.
Passo 2
Expressão de x(t)\) e forma do gráfico:
\[x(t)= \begin{cases} t, & 0\le t\le2,\\\\ 0, & \text{caso contrário}. \end{cases}
No gráfico é um segmento de reta de inclinação +1\] que vai de \((0,0) a (2,2), e zero fora.
Passo 3
Sinal x(-t)\): invertemos o eixo \(t\mapsto -t\), mantendo o valor. Assim
\[x(-t)= \begin{cases} -\,t, & -2\le t\le0,\\\\ 0, & \text{caso contrário}. \end{cases}
É um segmento de reta de inclinação -1\] que parte de \((-2,2) e vai até (0,0), zero fora.
Passo 4
Sinal x(2t)\): comprimimos o tempo por fator \(2\). Com isso
\[x(2t)= \begin{cases} 2t, & 0\le t\le1,\\\\ 0, & \text{caso contrário}. \end{cases}
É um segmento de reta de inclinação +2\] que vai de \((0,0) até (1,2), e zero para t<0 ou t>1.
Passo 5
Sinal x(-t)+x(t)\): somamos o gráfico de \(x(-t)\) (não nulo em \([-2,0]\)) com o de \(x(t)\) (não nulo em \([0,2]\)):
\[x(-t)+x(t)= \begin{cases} -\,t, & -2\le t\le0,\\\ t, & 0\le t\le2,\\\\ 0, & \text{caso contrário}. \end{cases}
O resultado é um “V” simétrico em zero, caindo de (\\ -2,2)\] até \((0,0) e subindo até (2,2).
Passo 6
Sinal 2\,x(t-3)\): deslocamos \(x(t)\) em \(+3\) e dobramos a amplitude. Fica
\[2\,x(t-3)= \begin{cases} 2\,(t-3), & 3\le t\le5,\\\\ 0, & \text{caso contrário}. \end{cases}
É um segmento de reta de inclinação +2\] que vai de \((3,0) a (5,4), e zero fora.
Passo 7
Sinal -2\,x\bigl(\tfrac{t-1}{2}\bigr)\): primeiro substituímos \(t\mapsto (t-1)/2\), depois dobramos e invertemos a amplitude. Obtemos
\[-2\,x\!\bigl(\tfrac{t-1}{2}\bigr)= \begin{cases} -(t-1), & 1\le t\le5,\\\\ 0, & \text{caso contrário}. \end{cases}
É um segmento de reta de inclinação -1\] que vai de \((1,0) a (5,-4), e zero fora.