Determine a resposta total de um sistema com um grau de Liberdade com
, sob as seguintes condições:
Vibração livre com
.
Vibração livre com
Passo 1
O enunciado pede: determinar a resposta total (deslocamento
para
) de um sistema de um grau de liberdade em vibração livre, com força externa nula
, dadas as condições iniciais. Os dados fornecidos são:
- massa:
, - amortecimento viscoso:
, - rigidez:
, - deslocamento inicial:
, - velocidade inicial:
.
O que se pede explicitamente: encontrar
para o movimento livre, usando as condições dadas.
Passo 2
Escrever a equação do movimento e interpretar seus termos. Pela segunda lei de Newton, para o sistema massa-mola-amortecedor:
Aqui:
-
é o deslocamento em função do tempo, -
é a velocidade e a aceleração, -
é a força inercial, -
é a força de amortecimento viscosa, -
é a força elástica da mola.
Dividindo tudo porobtemos a forma padrão:
onde serão definidas
e
abaixo.
Passo 3
Definir e calcular a frequência natural não amortecida
. A fórmula é
Substituindo os valores:
Passo 4
Definir e calcular a razão de amortecimento
. A definição é
Substituindo:
Como
, o sistema é subamortecido (underdamped): as raízes da equação característica são complexas conjugadas e a resposta será oscilatória amortecida.
Passo 5
Calcular a frequência amortecida
, que é a frequência das oscilações quando há amortecimento leve:
Substituindo os valores:
Passo 6
Escrever a forma geral da solução para o caso subamortecido. Para
a solução geral do sistema livre é
onde
e
são constantes a definir pelas condições iniciais. Aqui
é a taxa de decaimento exponencial do envelope.
Passo 7
Aplicar a condição inicial
para obter
. Em
tem-se
Passo 8
Calcular
em forma geral e aplicar
para obter
. Diferenciando
:
Em
:
Isolando
:
Passo 9
Substituir os valores numéricos em
. Primeiro observar que
o que simplifica os cálculos. Como
e
,
Passo 10
Interpretar os resultados e preparar a forma final. Já temos:
-
, -
, -
, -
, -
,
e a taxa de decaimento é(ou seja, o fator exponencial é ). Uma forma alternativa (amplitude-fase) pode ser obtida por e se desejar representar como uma única cosenoidalamortecida.