Determine a resposta total de um sistema com um grau de Liberdade com \mathbf{m} =10 \mathrm{~kg}, \mathrm{c}=20 \mathrm{~N} . \mathrm{s} / \mathrm{m}, \mathrm{k}=4000 \mathrm{~N} / \mathrm{m}, x 0=0.01 \mathrm{me}(\mathrm{v} 0)=0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, sob as seguintes condições:
Vibração livre com F(t)=0.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a resposta total (deslocamento x(t) para t\ge0) de um sistema de um grau de liberdade em vibração livre, com força externa nula F(t)=0, dadas as condições iniciais. Os dados fornecidos são:
  • massa: m=10\\ \mathrm{kg},
  • amortecimento viscoso: c=20\\ \mathrm{N\cdot s/m},
  • rigidez: k=4000\\ \mathrm{N/m},
  • deslocamento inicial: x(0)=x_0=0,01\\ \mathrm{m},
  • velocidade inicial: \dot x(0)=v_0=0\\ \mathrm{m/s}.
O que se pede explicitamente: encontrar x(t) para o movimento livre, usando as condições dadas.

Passo 2

Escrever a equação do movimento e interpretar seus termos. Pela segunda lei de Newton, para o sistema massa-mola-amortecedor:
m\ddot x + c\dot x + kx = 0.
Aqui:
  • x(t) é o deslocamento em função do tempo,
  • \dot x é a velocidade e \ddot x a aceleração,
  • m\ddot x é a força inercial,
  • c\dot x é a força de amortecimento viscosa,
  • kx é a força elástica da mola.
    Dividindo tudo por m obtemos a forma padrão:
\ddot x + 2\zeta\omega_n \dot x + \omega_n^2 x = 0,
onde serão definidas \omega_n e \zeta abaixo.

Passo 3

Definir e calcular a frequência natural não amortecida \omega_n. A fórmula é
\omega_n=\sqrt{\dfrac{k}{m}}.
Substituindo os valores:
\dfrac{k}{m}=\dfrac{4000}{10}=400, \qquad \omega_n=\sqrt{400}=20\\ \text{rad/s}.

Passo 4

Definir e calcular a razão de amortecimento \zeta. A definição é
\zeta=\dfrac{c}{2m\omega_n}.
Substituindo:
\zeta=\dfrac{20}{2\cdot 10\cdot 20}=\dfrac{20}{400}=0,05.
Como \zeta<1, o sistema é subamortecido (underdamped): as raízes da equação característica são complexas conjugadas e a resposta será oscilatória amortecida.

Passo 5

Calcular a frequência amortecida \omega_d, que é a frequência das oscilações quando há amortecimento leve:
\omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}.
Substituindo os valores:
1-\zeta^2=1-(0,05)^2=1-0,0025=0,9975,
\omega_d=20\sqrt{0,9975}\approx 20\cdot 0,998749\approx 19,975\\ \text{rad/s}.

Passo 6

Escrever a forma geral da solução para o caso subamortecido. Para \zeta<1 a solução geral do sistema livre é
x(t)=e^{-\zeta\omega_n t}\bigl(A\cos(\omega_d t)+B\sin(\omega_d t)\bigr),
onde A e B são constantes a definir pelas condições iniciais. Aqui \zeta\omega_n é a taxa de decaimento exponencial do envelope.

Passo 7

Aplicar a condição inicial x(0)=x_0 para obter A. Em t=0 tem-se
x(0)=A = x_0 = 0,01\\ \mathrm{m}.

Passo 8

Calcular \dot x(t) em forma geral e aplicar \dot x(0)=v_0 para obter B. Diferenciando x(t):
\dot x(t)=e^{-\zeta\omega_n t}\bigl(-\zeta\omega_n(A\cos\omega_d t+B\sin\omega_d t)\bigr) + e^{-\zeta\omega_n t}\bigl(-A\omega_d\sin\omega_d t + B\omega_d\cos\omega_d t\bigr).
Em t=0:
\dot x(0) = -\zeta\omega_n A + B\omega_d = v_0.
Isolando B:
B=\dfrac{v_0+\zeta\omega_n A}{\omega_d}.

Passo 9

Substituir os valores numéricos em B. Primeiro observar que
\zeta\omega_n=\dfrac{c}{2m}= \dfrac{20}{2\cdot 10}=1\\ \text{s}^{-1},
o que simplifica os cálculos. Como v_0=0 e A=0,01,
B=\dfrac{0 + 1\cdot 0,01}{19,975}=\dfrac{0,01}{19,975}\approx 0,000500625.

Passo 10

Interpretar os resultados e preparar a forma final. Já temos:
  • \omega_n=20\\ \text{rad/s},
  • \zeta=0,05,
  • \omega_d\approx 19,975\\ \text{rad/s},
  • A=0,01\\ \mathrm{m},
  • B\approx 0,000500625\\ \mathrm{m},
    e a taxa de decaimento é \zeta\omega_n=1\\ \text{s}^{-1} (ou seja, o fator exponencial é e^{-t}). Uma forma alternativa (amplitude-fase) pode ser obtida por X=\sqrt{A^2+B^2} e \varphi=\arctan(B/A) se desejar representar como uma única cosenoidalamortecida.

Resposta

x(t)=e^{-t}\Bigl(0,01\cos\bigl(19,975\,t\bigr)+0,000500625\sin\bigl(19,975\,t\bigr)\Bigr)\\ \text{m}

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