Um sistema cilindro / pistão contém 1 kg de gás metano a 100 \mathrm{kPa}, 20^{\circ} \mathrm{C}. O gás é comprimido para uma pressão de 800 kPa . Calcule o trabalho necessário se o processo for isotérmico.
Escolha uma opção:
◯ a. -516,0 \mathrm{~kJ}
◯ b. -416,0 \mathrm{~kJ}
◯ c. -316,0 \mathrm{~kJ}
◯ d. -216,0 \mathrm{~kJ}

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (dados extraídos do enunciado):
  • Massa do gás: m=1\\ \mathrm{kg}.
  • Gás: metano, massa molar aproximada M=16,04\\ \mathrm{kg·kmol^{-1}}.
  • Estado inicial: P_1=100\\ \mathrm{kPa} e T_1=20^\circ\mathrm{C}=293,15\\ \mathrm{K}.
  • Estado final: P_2=800\\ \mathrm{kPa}.
    O que se pede: calcular o trabalho necessário quando o processo é isotérmico (compressão de P_1 para P_2).

Passo 2

Entendendo o trabalho em um processo isotérmico reversível para gás ideal.
  • Definição do trabalho pela variação de volume (trabalho realizado pelo sistema): W=\int_{V_1}^{V_2} p\,\mathrm{d}V.
  • Para um gás ideal em processo isotérmico (temperatura constante T), vale a equação de estado: pV=mR T, onde:
    • p é a pressão instantânea do gás ( \mathrm{kPa}),
    • V é o volume ( \mathrm{m^3}),
    • m é a massa ( \mathrm{kg}),
    • R é a constante específica do gás ( \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}),
    • T é a temperatura ( \mathrm{K}).
  • Substituindo p=\dfrac{mR T}{V} na integral de trabalho e integrando: W=\int_{V_1}^{V_2}\frac{mR T}{V}\,\mathrm{d}V = mR T \ln\frac{V_2}{V_1}.
  • Como P V = m R T e T é constante, \dfrac{V_2}{V_1}=\dfrac{P_1}{P_2}. Logo a expressão útil em termos das pressões é: W = m R T \ln\frac{P_1}{P_2}.
  • Observação sobre o sinal: esta expressão dá o trabalho realizado pelo gás. Em compressão V_2<V_1 (ou P_2>P_1) o logaritmo é negativo, logo W<0. Isso significa que o trabalho é realizado sobre o gás (trabalho necessário para comprimir).

Passo 3

Calcular a constante específica R do metano.
  • Relação: R=\frac{R_u}{M}, onde R_u=8,314462618\\ \mathrm{kJ·kmol^{-1}\cdot K^{-1}} (constante universal) e M está em \mathrm{kg·kmol^{-1}}.
  • Substituindo M=16,04\\ \mathrm{kg·kmol^{-1}}: R=\frac{8,314462618}{16,04}\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}\approx 0,5183\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.

Passo 4

Calcular o produto m R T que aparece na fórmula do trabalho.
  • Usando m=1\\ \mathrm{kg}, R\approx 0,5183\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} e T=293,15\\ \mathrm{K}:
m R T = 1\cdot 0,5183 \cdot 293,15\\ \mathrm{kJ}\approx 151,9\\ \mathrm{kJ}.

Passo 5

Calcular o logaritmo da razão de pressões e o trabalho numérico.
  • Razão de pressões: \dfrac{P_1}{P_2}=\dfrac{100}{800}=\dfrac{1}{8}.
  • Logaritmo natural: \ln\!\left(\dfrac{P_1}{P_2}\right)=\ln\!\left(\dfrac{1}{8}\right)=-\ln 8\approx -2,079441542.
  • Trabalho: W = m R T \ln\frac{P_1}{P_2} \approx 151,9\cdot(-2,079441542)\\ \mathrm{kJ}\approx -316,0\\ \mathrm{kJ}.
  • Interpretação: o valor negativo indica que 316,0\\ \mathrm{kJ} de trabalho foram realizados sobre o gás (trabalho necessário para comprimir).

Passo 6

Conclusão e escolha da alternativa.
  • O cálculo dá W\approx -316,0\\ \mathrm{kJ}, que corresponde à alternativa (c).

Resposta

c. -316,0\\ \mathrm{kJ}

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