Determine a reta tangente ao gráfico da função no ponto de abscisca x_{0} indicado.
y=\left(3-x^{2}\right)^{4} \sqrt[3]{5 x-4}, \quad x_{0}=1

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente ao gráfico de
y = (3 - x^2)^4 \sqrt[3]{5x - 4}
no ponto de abscissa x_0 = 1.
Aqui vamos usar derivada de produto e regra da cadeia para achar o coeficiente angular, e então montar a equação da reta.

Passo 2

Calculamos o valor da função em x_0=1:
y_0 = f(1) = (3 - 1^2)^4 \,(5\cdot1 - 4)^{1/3} = 2^4 \cdot 1^{1/3} = 16.

Passo 3

Chamando
u(x) = (3 - x^2)^4 \quad\text{e}\quad v(x) = (5x - 4)^{1/3},
temos
u'(x) = 4(3 - x^2)^3 \cdot (-2x) = -8x\,(3 - x^2)^3,
v'(x) = \tfrac{1}{3}(5x - 4)^{-2/3}\cdot 5 = \tfrac{5}{3}\,(5x - 4)^{-2/3}.
Pelo produto,
f'(x) = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x) = -8x\,(3 - x^2)^3\,(5x - 4)^{1/3} + \frac{5}{3}\,(3 - x^2)^4\,(5x - 4)^{-2/3}.

Passo 4

Avaliamo em x=1:
u'(1)\,v(1) = -8\cdot1\cdot2^3\cdot1 = -64, \quad u(1)\,v'(1) = 2^4\cdot\frac{5}{3}\cdot1 = \frac{80}{3}.
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f'(1) = -64 + \frac{80}{3} = -\frac{192}{3} + \frac{80}{3} = -\frac{112}{3}.

Passo 5

A reta tangente em (1,16) tem equação
y - y_0 = f'(1)\,(x - 1),
ou seja
y - 16 = -\frac{112}{3}(x - 1) \quad\Longrightarrow\quad y = -\frac{112}{3}x + \frac{160}{3}.

Resposta

A reta tangente é
\boxed{y = -\frac{112}{3}x + \frac{160}{3}}.

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