Determine se as retas abaixo são paralelas, coincidentes, concorrentes ou reversas. Calcule seu ponto de interseção (se existir), e o ângulo entre elas:
r_{1}: x=1+3 t, y=2+5 t, z=1+7 t
r_{2}: x=7+6 s, y=12+10 s, z=6+14 s

Passo 1

O enunciado pede:
  • Determinar se as retas são paralelas, coincidentes, concorrentes (isto é, intersectam-se) ou reversas.
  • Calcular o ponto de interseção, se existir.
  • Calcular o ângulo entre elas.
Informações dadas (extraídas do enunciado):
  • r_{1}:\; x=1+3t,\; y=2+5t,\; z=1+7t.
  • r_{2}:\; x=7+6s,\; y=12+10s,\; z=6+14s.

Passo 2

Extrair um ponto e o vetor diretor de cada reta (como se faz lendo as parametrizações).
  • Um ponto de r_{1} é A=(1,2,1) (obtido substituindo t=0 em r_1).
  • O vetor diretor de r_{1} é \mathbf{v}_{1}=(3,5,7) (coeficientes de t nas componentes).
  • Um ponto de r_{2} é B=(7,12,6) (obtendo s=0 em r_2).
  • O vetor diretor de r_{2} é \mathbf{v}_{2}=(6,10,14) (coeficientes de s).
Explicação rápida: a forma paramétrica x=x_0+at,\;y=y_0+bt,\;z=z_0+ct representa a reta com ponto (x_0,y_0,z_0) e vetor diretor (a,b,c).

Passo 3

Verificar se os vetores diretores são múltiplos escalares (critério de paralelismo).
Calcular as razões entre componentes:
\frac{6}{3}=2,\qquad \frac{10}{5}=2,\qquad \frac{14}{7}=2.
Como todas as razões coincidem e valem 2, tem-se
\mathbf{v}_{2}=2\mathbf{v}_{1}.
Portanto os vetores diretores são colineares e as retas são paralelas (podem ser coincidentes ou distintas). Explicação: em \mathbb{R}^3, se os vetores diretores são múltiplos entre si as retas têm a mesma direção.

Passo 4

Determinar se são coincidentes (ou seja, a mesma reta) ou paralelas distintas.
Calcular o vetor que liga um ponto a outro:
\overrightarrow{AB}=B-A=(7-1,\;12-2,\;6-1)=(6,10,5).
Verificar se \overrightarrow{AB} é múltiplo de \mathbf{v}_{1}=(3,5,7). Se existisse k tal que \overrightarrow{AB}=k\mathbf{v}_1 então as retas seriam coincidentes. Compare componentes:
  • Pelas duas primeiras componentes, k=2 seria compatível: 2(3,5)=(6,10).
  • Pela terceira componente, 2\cdot7=14\neq5.
Logo não existe escalar k que satisfaça \overrightarrow{AB}=k\mathbf{v}_1. Conclusão: as retas são paralelas e distintas (não coincidentes).

Passo 5

Verificação direta de interseção (opcional mas didático): resolver o sistema r_1(t)=r_2(s).
Escrevendo as três equações:
1+3t=7+6s,\qquad 2+5t=12+10s,\qquad 1+7t=6+14s.
Subtrair termos para isolar t e s:
3t-6s=6 \;\Rightarrow\; t-2s=2,
5t-10s=10 \;\Rightarrow\; t-2s=2,
7t-14s=5 \;\Rightarrow\; t-2s=\frac{5}{7}.
As duas primeiras equações dão t-2s=2, enquanto a terceira exige t-2s=\dfrac{5}{7}. Como 2\neq\dfrac{5}{7} o sistema é inconsistente, não existe solução (t,s) que satisfaça as três equações simultaneamente. Portanto não há ponto de interseção. Isso confirma que são paralelas distintas (linhas sem interseção).

Passo 6

Calcular o ângulo entre as retas usando os vetores diretores. Fórmula:
\cos\theta=\frac{\mathbf{v}_{1}\cdot\mathbf{v}_{2}}{\|\mathbf{v}_{1}\|\;\|\mathbf{v}_{2}\|},
onde \mathbf{v}_{1}\cdot\mathbf{v}_{2} é o produto escalar e \|\mathbf{v}\| é a norma (comprimento) do vetor.
Calcular o produto escalar:
\mathbf{v}_{1}\cdot\mathbf{v}_{2}=3\cdot6+5\cdot10+7\cdot14=18+50+98=166.
Calcular as normas:
\|\mathbf{v}_{1}\|=\sqrt{3^{2}+5^{2}+7^{2}}=\sqrt{9+25+49}=\sqrt{83},
\|\mathbf{v}_{2}\|=\sqrt{6^{2}+10^{2}+14^{2}}=\sqrt{36+100+196}=\sqrt{332}=\sqrt{4\cdot83}=2\sqrt{83}.
Substituindo em \cos\theta:
\cos\theta=\frac{166}{\sqrt{83}\cdot 2\sqrt{83}}=\frac{166}{2\cdot83}=\frac{166}{166}=1.
Portanto \theta=0. Interpretação: as direções coincidem (mesma orientação), logo o ângulo entre as retas é 0. Observação: se o vetor diretor de uma fosse - múltiplo da outra o cosseno seria -1 e o ângulo seria 180^\circ.

Resposta

As retas são paralelas e distintas (paralelas não coincidentes).
Não existe ponto de interseção.
Ângulo entre elas: 0^\circ.

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