Determine as posições relativas das retas r e os planos \pi abaixo. Obtenha seu ponto comum (se existir) e seu ângulo :
r: x=2-s, y=1+2 s, z=1+s e \pi: x=1-p-4 q, y=-2+2 p-8 q, z=1+p-q

Passo 1

O enunciado pede duas coisas sobre a reta r e o plano \pi:
  • Determinar a posição relativa entre a reta r e o plano \pi (ou seja: a reta corta o plano em um ponto, está contida no plano, ou é paralela e distinta).
  • Obter o ponto comum (se existir) e o ângulo entre a reta e o plano.
As informações dadas (extraídas do enunciado) são:
  • Reta r em forma paramétrica com parâmetro s:
x=2-s,\qquad y=1+2s,\qquad z=1+s.
  • Plano \pi em forma paramétrica com parâmetros p,q:
x=1-p-4q,\qquad y=-2+2p-8q,\qquad z=1+p-q.

Passo 2

Vou extrair, de forma explícita, o ponto de posição e os vetores diretores envolvidos (isso é só leitura das formas paramétricas):
  • Para a reta r: escolhe-se um ponto P_0 quando s=0 e o vetor diretor \vec{d} pelos coeficientes de s.
    • P_0=(2,1,1).
    • \vec{d}=(-1,\,2,\,1) (porque x=2-1\cdot s,\;y=1+2\cdot s,\;z=1+1\cdot s).
  • Para o plano \pi: há um ponto base A quando p=q=0 e dois vetores diretores \vec{u},\vec{v} correspondentes a p e q.
    • A=(1,-2,1).
    • \vec{u}=(-1,\,2,\,1) (coeficiente de p).
    • \vec{v}=(-4,\,-8,\,-1) (coeficiente de q).
Observação importante (note comigo): já dá para ver que \vec{d}=\vec{u}. Isso indica que a direção da reta é uma direção do próprio plano — ou seja, a reta é paralela ao plano ou então está contida nele (se algum ponto da reta pertencer ao plano).

Passo 3

Para confirmar se a reta está contida no plano ou apenas paralela, é útil construir o vetor normal do plano e verificar a relação com \vec{d}. O vetor normal \vec{n} do plano pode ser obtido pelo produto vetorial \vec{n}=\vec{u}\times\vec{v}. Vou calcular passo a passo o produto vetorial.
Se \vec{u}=(-1,2,1) e \vec{v}=(-4,-8,-1), então
\vec{n}=\vec{u}\times\vec{v}=\bigl(u_2 v_3 - u_3 v_2,\; u_3 v_1 - u_1 v_3,\; u_1 v_2 - u_2 v_1\bigr).
Substituindo:
\vec{n}=\bigl(2\cdot(-1)-1\cdot(-8),\;1\cdot(-4)-(-1)\cdot(-1),\;(-1)\cdot(-8)-2\cdot(-4)\bigr).
Calculando cada componente:
\vec{n}=( -2 -(-8),\; -4 -1,\; 8 -(-8) ) = (6,\,-5,\,16).

Passo 4

Agora verifico a relação entre \vec{d} e \vec{n} usando o produto escalar. Se \vec{d}\cdot\vec{n}=0, então \vec{d} é perpendicular ao normal do plano, ou seja, \vec{d} está no subespaço direcional do plano (confirmando que a reta é paralela ao plano).
Calcule:
\vec{d}\cdot\vec{n}=(-1)\cdot 6 + 2\cdot(-5) + 1\cdot 16 = -6 -10 +16 = 0.
Portanto \vec{d}\cdot\vec{n}=0. Conclusão parcial: a direção da reta é paralela ao plano; logo a reta ou está contida no plano ou é paralela e distinta.

Passo 5

Para decidir entre “contida” ou “paralela distinta”, basta verificar se um ponto qualquer da reta pertence ao plano. Uso P_0=(2,1,1)\) (ponto da reta quando \(s=0\)) e tento escrever \(P_0\) como \(A+p\vec{u}+q\vec{v}\). Isso gera o sistema \[\begin{cases} 1 - p -4q = 2,\\[4pt] -2 +2p -8q = 1,\\[4pt] 1 + p - q = 1. \end{cases}
Resolvo de forma direta:
  • Da terceira equação: 1 + p - q = 1 \Rightarrow p - q = 0 \Rightarrow p = q\]. - Substituindo \(p=q na primeira equação: 1 - p -4p = 2 \Rightarrow 1 -5p = 2 \Rightarrow -5p = 1 \Rightarrow p = -\tfrac{1}{5}. Então q = -\tfrac{1}{5}.
    - Agora verifico a segunda equação com esses valores: a segunda pede -2 +2p -8q = 1. Substituindo p=q=-\tfrac{1}{5}:
-2 + 2\Bigl(-\tfrac{1}{5}\Bigr) -8\Bigl(-\tfrac{1}{5}\Bigr) = -2 -\tfrac{2}{5} + \tfrac{8}{5} = -2 + \tfrac{6}{5} = -\tfrac{10}{5} + \tfrac{6}{5} = -\tfrac{4}{5},
que claramente não é 1. Há contradição. Portanto não existem p,q que coloquem P_0 no plano.
Como a direção da reta está no plano ( \vec{d} é combinação dos vetores diretores do plano) mas o ponto P_0 da reta não pertence ao plano, a reta e o plano são paralelos e não têm ponto em comum (ou seja, não se intersectam).
Observação conceitual rápida: quando a direção da reta está contida no espaço direcional do plano, ou a reta está inteiramente dentro do plano (se um ponto da reta pertencer ao plano) ou a reta é paralela ao plano sem interseção (se nenhum ponto da reta estiver no plano).]

Passo 6

Agora o ângulo entre a reta e o plano. Lembrete da definição e da fórmula (explicando devagar):
  • Seja \theta o ângulo entre o vetor diretor da reta \vec{d} e o vetor normal do plano \vec{n}. Então
\cos\theta=\frac{|\vec{d}\cdot\vec{n}|}{\|\vec{d}\|\|\vec{n}\|}.
  • O ângulo \varphi entre a reta e o plano é o complemento de \theta: \varphi=90^\circ-\theta. Uma forma prática é usar
\sin\varphi=\frac{|\vec{d}\cdot\vec{n}|}{\|\vec{d}\|\|\vec{n}\|}.
No nosso caso já vimos que \vec{d}\cdot\vec{n}=0. Assim o numerador é 0, portanto
\sin\varphi=0 \quad\Rightarrow\quad \varphi=0^\circ.
Interpretação intuitiva: a reta é paralela ao plano, então ela “anda junto” ao plano, o ângulo entre eles é zero.

Resposta

r é paralela a \pi e não se intersectam (não há ponto comum).
Ponto comum: não existe.
Ângulo entre r e \pi: 0^\circ.

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