Determine as posições relativas das retas
e os planos
abaixo. Obtenha seu ponto comum (se existir) e seu ângulo :
e
Passo 1
O enunciado pede duas coisas sobre a reta
e o plano
:
- Determinar a posição relativa entre a reta
e o plano (ou seja: a reta corta o plano em um ponto, está contida no plano, ou é paralela e distinta). - Obter o ponto comum (se existir) e o ângulo entre a reta e o plano.
As informações dadas (extraídas do enunciado) são:
- Reta
em forma paramétrica com parâmetro :
- Plano
em forma paramétrica com parâmetros :
Passo 2
Vou extrair, de forma explícita, o ponto de posição e os vetores diretores envolvidos (isso é só leitura das formas paramétricas):
- Para a reta
: escolhe-se um ponto quando e o vetor diretor pelos coeficientes de . -
. -
(porque ).
-
- Para o plano
: há um ponto base quando e dois vetores diretores correspondentes a e . -
. -
(coeficiente de ). -
(coeficiente de ).
-
Observação importante (note comigo): já dá para ver que
. Isso indica que a direção da reta é uma direção do próprio plano — ou seja, a reta é paralela ao plano ou então está contida nele (se algum ponto da reta pertencer ao plano).
Passo 3
Para confirmar se a reta está contida no plano ou apenas paralela, é útil construir o vetor normal do plano e verificar a relação com
. O vetor normal
do plano pode ser obtido pelo produto vetorial
. Vou calcular passo a passo o produto vetorial.
Se
e
, então
Substituindo:
Calculando cada componente:
Passo 4
Agora verifico a relação entre
e
usando o produto escalar. Se
, então
é perpendicular ao normal do plano, ou seja,
está no subespaço direcional do plano (confirmando que a reta é paralela ao plano).
Calcule:
Portanto
. Conclusão parcial: a direção da reta é paralela ao plano; logo a reta ou está contida no plano ou é paralela e distinta.
Passo 5
Para decidir entre “contida” ou “paralela distinta”, basta verificar se um ponto qualquer da reta pertence ao plano. Uso
Resolvo de forma direta:
- Da terceira equação:
na primeira equação:
. Então .
- Agora verifico a segunda equação com esses valores: a segunda pede. Substituindo :
que claramente não é
. Há contradição. Portanto não existem
que coloquem
no plano.
Como a direção da reta está no plano (
é combinação dos vetores diretores do plano) mas o ponto
da reta não pertence ao plano, a reta e o plano são paralelos e não têm ponto em comum (ou seja, não se intersectam).
Observação conceitual rápida: quando a direção da reta está contida no espaço direcional do plano, ou a reta está inteiramente dentro do plano (se um ponto da reta pertencer ao plano) ou a reta é paralela ao plano sem interseção (se nenhum ponto da reta estiver no plano).]
Passo 6
Agora o ângulo entre a reta e o plano. Lembrete da definição e da fórmula (explicando devagar):
- Seja
o ângulo entre o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano . Então
- O ângulo
entre a reta e o plano é o complemento de : . Uma forma prática é usar
No nosso caso já vimos que
. Assim o numerador é
, portanto
Interpretação intuitiva: a reta é paralela ao plano, então ela “anda junto” ao plano, o ângulo entre eles é zero.
Resposta
Ponto comum: não existe.
Ângulo entre