1. Determine se as retas dadas pelas equações simétricas
\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{4}
e \quad \frac{x+1}{6}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z+5}{2} são paralelas, reversas ou concorrentes.

Passo 1

O enunciado dá duas retas em forma simétrica:
\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{4}
e
\frac{x+1}{6}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z+5}{2},
e pede para determinar se essas duas retas são paralelas, reversas (skew) ou concorrentes (se interceptam).
Informações dadas que vamos usar:
  • As duas equações simétricas das retas (já transcritas acima).

Passo 2

Como interpretar uma equação simétrica de reta: se uma reta é dada por
\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c},
então um ponto da reta é (x_0,y_0,z_0) e um vetor diretor é (a,b,c). Vou extrair esses dados para a primeira reta.
Da primeira reta, pegando os termos da equação simétrica:
  • ponto de referência: (x_0,y_0,z_0)=(1,2,3),
  • vetor diretor \mathbf{v}_1=(2,3,4).

Passo 3

Faço o mesmo com a segunda reta. Da equação simétrica
\frac{x+1}{6}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z+5}{2},
temos:
  • ponto de referência: (x_0,y_0,z_0)=(-1,3,-5) (peguei o sinal trocado porque é x+1, z+5),
  • vetor diretor \mathbf{v}_2=(6,-1,2).

Passo 4

Teste de paralelismo: duas retas em \mathbb{R}^3 são paralelas se e somente se os vetores diretores são proporcionais, isto é, existe k tal que \mathbf{v}_2=k\mathbf{v}_1. Vou comparar as razões das componentes:
\frac{6}{2}=3,\qquad \frac{-1}{3}=-\tfrac{1}{3},\qquad \frac{2}{4}=\tfrac{1}{2}.
Como as três razões não são iguais, não existe k que satisfaça \mathbf{v}_2=k\mathbf{v}_1. Conclusão: as retas NÃO são paralelas.

Passo 5

Teste de interseção (concorrência): se as retas não são paralelas, podem ou não se intersectar. Para verificar se intersectam, parametrizo cada reta e tento resolver pelas coordenadas.
Parametrização da primeira reta usando parâmetro t\): \[\begin{cases} x=1+2t,\\[4pt] y=2+3t,\\[4pt] z=3+4t. \end{cases}
Parametrização da segunda reta usando parâmetro (u]:
\begin{cases} x=-1+6u,\\[4pt] y=3-u,\\[4pt] z=-5+2u. \end{cases}
Para que haja interseção, devem existir t,u tais que as três coordenadas coincidam simultaneamente, isto é, o sistema
\begin{cases} 1+2t=-1+6u,\\[4pt] 2+3t=3-u,\\[4pt] 3+4t=-5+2u \end{cases}
tenha solução.]

Passo 6

Resolvo o sistema passo a passo. Da primeira equação:
1+2t=-1+6u \quad\Rightarrow\quad 2t-6u=-2.
Dividindo por 2:
t-3u=-1 \quad\Rightarrow\quad t=3u-1.
Da segunda equação:
2+3t=3-u \quad\Rightarrow\quad 3t+u=1.
Substituo t=3u-1 aí:
3(3u-1)+u=1 \quad\Rightarrow\quad 9u-3+u=1 \quad\Rightarrow\quad 10u=4 \quad\Rightarrow\quad u=\tfrac{2}{5}.
Então
t=3u-1=3\cdot\tfrac{2}{5}-1=\tfrac{6}{5}-1=\tfrac{1}{5}.

Passo 7

Verificação na terceira equação: substituo t=\tfrac{1}{5} e u=\tfrac{2}{5} em
3+4t=-5+2u.
Calculo o lado esquerdo:
3+4t=3+4\cdot\tfrac{1}{5}=3+\tfrac{4}{5}=\tfrac{19}{5}=3,8.
Calculo o lado direito:
-5+2u=-5+2\cdot\tfrac{2}{5}=-5+\tfrac{4}{5}=-\tfrac{21}{5}=-4,2.
Como \tfrac{19}{5}\neq -\tfrac{21}{5}, a terceira equação não é satisfeita. Portanto o sistema é inconsistente: não existem t,u que façam as três coordenadas coincidirem.

Passo 8

Conclusão lógica final: as retas não são paralelas (Passo 4) e também não se intersectam (Passos 6–7). Logo elas são retas reversas (skew) em \mathbb{R}^3.

Resposta

Reversas.

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