Determine se as retas dadas pelas equações simétricas
\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{4}
e \quad \frac{x+1}{6}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z+5}{2} são paralelas, reversas ou concorrentes.
Passo 1
O enunciado dá duas retas em forma simétrica:
\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{4}
e
\frac{x+1}{6}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z+5}{2},
e pede para determinar se essas duas retas são paralelas, reversas (skew) ou concorrentes (se interceptam).
Informações dadas que vamos usar:
As duas equações simétricas das retas (já transcritas acima).
Passo 2
Como interpretar uma equação simétrica de reta: se uma reta é dada por
\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c},
então um ponto da reta é (x_0,y_0,z_0) e um vetor diretor é (a,b,c). Vou extrair esses dados para a primeira reta.
Da primeira reta, pegando os termos da equação simétrica:
ponto de referência: (x_0,y_0,z_0)=(1,2,3),
vetor diretor \mathbf{v}_1=(2,3,4).
Passo 3
Faço o mesmo com a segunda reta. Da equação simétrica
\frac{x+1}{6}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z+5}{2},
temos:
ponto de referência: (x_0,y_0,z_0)=(-1,3,-5) (peguei o sinal trocado porque é x+1, z+5),
vetor diretor \mathbf{v}_2=(6,-1,2).
Passo 4
Teste de paralelismo: duas retas em \mathbb{R}^3 são paralelas se e somente se os vetores diretores são proporcionais, isto é, existe k tal que \mathbf{v}_2=k\mathbf{v}_1. Vou comparar as razões das componentes:
Como as três razões não são iguais, não existe k que satisfaça \mathbf{v}_2=k\mathbf{v}_1. Conclusão: as retas NÃO são paralelas.
Passo 5
Teste de interseção (concorrência): se as retas não são paralelas, podem ou não se intersectar. Para verificar se intersectam, parametrizo cada reta e tento resolver pelas coordenadas.
Parametrização da primeira reta usando parâmetro t\):
\[\begin{cases} x=1+2t,\\[4pt] y=2+3t,\\[4pt] z=3+4t. \end{cases}
Parametrização da segunda reta usando parâmetro (u]: \begin{cases} x=-1+6u,\\[4pt] y=3-u,\\[4pt] z=-5+2u. \end{cases}
Para que haja interseção, devem existir t,u tais que as três coordenadas coincidam simultaneamente, isto é, o sistema
Como \tfrac{19}{5}\neq -\tfrac{21}{5}, a terceira equação não é satisfeita. Portanto o sistema é inconsistente: não existem t,u que façam as três coordenadas coincidirem.
Passo 8
Conclusão lógica final: as retas não são paralelas (Passo 4) e também não se intersectam (Passos 6–7). Logo elas são retas reversas (skew) em \mathbb{R}^3.