Determine a distância da origem até a reta x=1+t, y=2-t, z=-1+2 t.
Passo 1
O enunciado dá a reta em forma paramétrica:
x=1+t,\qquad y=2-t,\qquad z=-1+2t,
e pede a distância da origem (o ponto O=(0,0,0)) até essa reta.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A reta está descrita por parâmetro t.
Quer-se a menor distância entre o ponto O e qualquer ponto da reta (ou seja, a distância perpendicular da origem à reta).
Passo 2
Escolha do método: vou usar a fórmula baseada no produto vetorial (cross product). Motivo: é um método direto e simples para distância entre um ponto e uma reta em \mathbb{R}^3; dá uma única expressão fácil de calcular sem precisar minimizar funções. Além disso a conta fica curta e é segura de fazer à mão na prova. Vou explicar a fórmula e cada vetor usado, passo a passo, para você entender e poder aplicar em qualquer problema parecido.
Passo 3
Escrever a reta em forma vetorial e identificar um ponto da reta e o vetor diretor. A forma vetorial da reta é
\vec r(t)=\vec p_0 + t\,\vec v,
onde \vec p_0 é um ponto da reta (pego para t=0) e \vec v é o vetor diretor (coeficientes de t).
Pegando t=0 no enunciado obtemos o ponto
\vec p_0=(1,2,-1).
O vetor diretor é dado pelos coeficientes de t nas três coordenadas:
\vec v=(1,-1,2).
Passo 4
Apresentar a fórmula e explicar por que ela funciona. Seja P_0 o ponto \vec p_0 da reta e seja P o ponto externo (aqui a origem O). Defina o vetor que liga P_0 a P como
\vec w=\overrightarrow{P_0P}=\vec P-\vec p_0.
A área do paralelogramo formado por \vec v e \vec w é |\vec v\times\vec w|. Essa área também é igual à base vezes altura, ou seja |\vec v|\cdot d, onde d é a distância perpendicular entre P e a reta (altura do paralelogramo). Logo
d=\frac{|\vec v\times\vec w|}{|\vec v|}.
Nesta fórmula:
\vec v é o vetor diretor da reta;
\vec w é o vetor de um ponto da reta até o ponto externo (origem);