1. Determine a distância da origem até a reta x=1+t, y=2-t, z=-1+2 t.

Passo 1

O enunciado dá a reta em forma paramétrica:
x=1+t,\qquad y=2-t,\qquad z=-1+2t,
e pede a distância da origem (o ponto O=(0,0,0)) até essa reta.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A reta está descrita por parâmetro t.
  • Quer-se a menor distância entre o ponto O e qualquer ponto da reta (ou seja, a distância perpendicular da origem à reta).

Passo 2

Escolha do método: vou usar a fórmula baseada no produto vetorial (cross product). Motivo: é um método direto e simples para distância entre um ponto e uma reta em \mathbb{R}^3; dá uma única expressão fácil de calcular sem precisar minimizar funções. Além disso a conta fica curta e é segura de fazer à mão na prova. Vou explicar a fórmula e cada vetor usado, passo a passo, para você entender e poder aplicar em qualquer problema parecido.

Passo 3

Escrever a reta em forma vetorial e identificar um ponto da reta e o vetor diretor. A forma vetorial da reta é
\vec r(t)=\vec p_0 + t\,\vec v,
onde \vec p_0 é um ponto da reta (pego para t=0) e \vec v é o vetor diretor (coeficientes de t).
Pegando t=0 no enunciado obtemos o ponto
\vec p_0=(1,2,-1).
O vetor diretor é dado pelos coeficientes de t nas três coordenadas:
\vec v=(1,-1,2).

Passo 4

Apresentar a fórmula e explicar por que ela funciona. Seja P_0 o ponto \vec p_0 da reta e seja P o ponto externo (aqui a origem O). Defina o vetor que liga P_0 a P como
\vec w=\overrightarrow{P_0P}=\vec P-\vec p_0.
A área do paralelogramo formado por \vec v e \vec w é |\vec v\times\vec w|. Essa área também é igual à base vezes altura, ou seja |\vec v|\cdot d, onde d é a distância perpendicular entre P e a reta (altura do paralelogramo). Logo
d=\frac{|\vec v\times\vec w|}{|\vec v|}.
Nesta fórmula:
  • \vec v é o vetor diretor da reta;
  • \vec w é o vetor de um ponto da reta até o ponto externo (origem);
  • \times é o produto vetorial;
  • |\cdot| é o módulo (norma) do vetor.
Agora aplicamos isso com nossos vetores.

Passo 5

Calcular \vec w (vetor de \vec p_0 até a origem):
\vec w=\overrightarrow{P_0O}=(0-1,\;0-2,\;0-(-1))=(-1,-2,1).
Reescrevendo os vetores:
\vec v=(1,-1,2),\qquad \vec w=(-1,-2,1).
Calcular o produto vetorial \vec w\times\vec v componente a componente usando a fórmula
\vec a\times\vec b=(a_2 b_3-a_3 b_2,\; a_3 b_1-a_1 b_3,\; a_1 b_2-a_2 b_1).
Aplicando com \vec a=\vec w e \vec b=\vec v:
\begin{aligned} (\vec w\times\vec v)_1 &= w_2 v_3 - w_3 v_2 = (-2)\cdot 2 - 1\cdot(-1) = -4 -(-1) = -3,\\[4pt] (\vec w\times\vec v)_2 &= w_3 v_1 - w_1 v_3 = 1\cdot 1 - (-1)\cdot 2 = 1 -(-2) = 3,\\[4pt] (\vec w\times\vec v)_3 &= w_1 v_2 - w_2 v_1 = (-1)\cdot(-1) - (-2)\cdot 1 = 1 -(-2) = 3. \end{aligned}
Portanto
\vec w\times\vec v = (-3,\,3,\,3).]

Passo 6

Calcular normas e a distância. Norma do produto vetorial:
|\vec w\times\vec v|=\sqrt{(-3)^2+3^2+3^2}=\sqrt{9+9+9}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}.
Norma do vetor diretor:
|\vec v|=\sqrt{1^2+(-1)^2+2^2}=\sqrt{1+1+4}=\sqrt{6}.
Usando a fórmula da distância:
d=\frac{|\vec w\times\vec v|}{|\vec v|}=\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{6}}.
Simplificando a raiz:
\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{6}}=3\sqrt{\frac{3}{6}}=3\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}.
Número aproximado, se quiser conferir: \dfrac{3\sqrt{2}}{2}\approx 2{,}121.

Resposta

\dfrac{3\sqrt{2}}{2}

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