Determine se as retas \mathbf{x}=\mathbf{p}+ su e \mathbf{x}=\mathbf{q}+t \mathbf{v} se interceptam e, em caso afirmativo, encontre o ponto de interseção. \mathbf{p}=\left[\begin{array}{r}-1 \\\\ 2 \\\\ 1\end{array}\right], \mathbf{q}=\left[\begin{array}{l}2 \\\\ 2 \\\\ 0\end{array}\right], \mathbf{u}=\left[\begin{array}{r}1 \\\\ 2 \\\\ -1\end{array}\right], \mathbf{v}=\left[\begin{array}{r}-1 \\\\ 1 \\\\ 0\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado nos dá duas retas em \mathbb{R}^3: \displaystyle L_1:\mathbf{x}=\mathbf{p}+s\,\mathbf{u} com \mathbf{p}= \begin{pmatrix}-1\\\ 2\\\ 1\end{pmatrix}, \mathbf{u}=\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ -1\end{pmatrix}
e \displaystyle L_2:\mathbf{x}=\mathbf{q}+t\,\mathbf{v} com \mathbf{q}= \begin{pmatrix}2\\\ 2\\\ 0\end{pmatrix}, \mathbf{v}=\begin{pmatrix}-1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.
Queremos saber se elas se interceptam (isto é, existe (s,t) tal que \mathbf{p}+s\mathbf{u}=\mathbf{q}+t\mathbf{v}) e, em caso afirmativo, achar o ponto comum. Esse tipo de problema é de geometria analítica: basta igualar as coordenadas e resolver o sistema para s e t.
Passo 2
Escrevendo as equações de cada coordenada, a reta L_1 dá
x=-1+s,\quad y=2+2s,\quad z=1-s,
e a reta L_2 dá
x=2-t,\quad y=2+t,\quad z=0.
Passo 3
Para intersectar, devemos ter as três coordenadas iguais, isto é, o sistema