Determine se as retas \mathbf{x}=\mathbf{p}+ su e \mathbf{x}=\mathbf{q}+t \mathbf{v} se interceptam e, em caso afirmativo, encontre o ponto de interseção.
\mathbf{p}=\left[\begin{array}{r}-1 \\\\ 2 \\\\ 1\end{array}\right], \mathbf{q}=\left[\begin{array}{l}2 \\\\ 2 \\\\ 0\end{array}\right], \mathbf{u}=\left[\begin{array}{r}1 \\\\ 2 \\\\ -1\end{array}\right], \mathbf{v}=\left[\begin{array}{r}-1 \\\\ 1 \\\\ 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá duas retas em \mathbb{R}^3: \displaystyle L_1:\mathbf{x}=\mathbf{p}+s\,\mathbf{u} com \mathbf{p}= \begin{pmatrix}-1\\\ 2\\\ 1\end{pmatrix}, \mathbf{u}=\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ -1\end{pmatrix}
e \displaystyle L_2:\mathbf{x}=\mathbf{q}+t\,\mathbf{v} com \mathbf{q}= \begin{pmatrix}2\\\ 2\\\ 0\end{pmatrix}, \mathbf{v}=\begin{pmatrix}-1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.
Queremos saber se elas se interceptam (isto é, existe (s,t) tal que \mathbf{p}+s\mathbf{u}=\mathbf{q}+t\mathbf{v}) e, em caso afirmativo, achar o ponto comum. Esse tipo de problema é de geometria analítica: basta igualar as coordenadas e resolver o sistema para s e t.

Passo 2

Escrevendo as equações de cada coordenada, a reta L_1
x=-1+s,\quad y=2+2s,\quad z=1-s,
e a reta L_2
x=2-t,\quad y=2+t,\quad z=0.

Passo 3

Para intersectar, devemos ter as três coordenadas iguais, isto é, o sistema
\begin{cases} -1 + s = 2 - t,\\\\ 2 + 2s = 2 + t,\\\\ 1 - s = 0. \end{cases}

Passo 4

Da terceira equação \,1 - s = 0, vem \,s=1.
Substituindo em 2 + 2s = 2 + t obtemos
2 + 2\cdot1 = 2 + t \quad\Longrightarrow\quad 4 = 2 + t \quad\Longrightarrow\quad t = 2.
Finalmente, conferindo na primeira equação:
-1 + 1 = 0 \quad\text{e}\quad 2 - 2 = 0,
logo -1 + s = 2 - t também se satisfaz.

Passo 5

Como (s,t)=(1,2) resolve todas as equações, as retas se interceptam. O ponto de interseção é dado, por exemplo, por L_1 em s=1:
\mathbf{x} = \begin{pmatrix}-1\\\ 2\\\ 1\end{pmatrix} +1\cdot\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 4\\\ 0\end{pmatrix}.

Resposta

O ponto de interseção é \displaystyle\begin{pmatrix}0\\\ 4\\\ 0\end{pmatrix}.

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