Determine se as retas
\mathrm{r}: \frac{x-1}{2}=\frac{y+3}{-1}=\frac{z-4}{3} \quad \text { e } \quad \text { s: } \frac{x-5}{-4}=\frac{y-1}{2}=\frac{z+7}{-6}
se interceptam. Se sim, determine o ponto de interseção.

Passo 1

O enunciado dá duas retas em forma simétrica no espaço e pede para verificar se elas se interceptam e, em caso positivo, achar o ponto de interseção. O conteúdo aqui é representação paramétrica de reta em \mathbb{R}^3 e resolução de um sistema linear para igualar as coordenadas.

Passo 2

Vamos escrever cada reta em forma paramétrica. Para \mathrm{r} tomamos um parâmetro t e para \mathrm{s} um parâmetro u:\r
\mathrm{r}:\begin{cases} x = 1 + 2t,\\\ y = -3 - t,\\\ z = 4 + 3t, \end{cases} \qquad \mathrm{s}:\begin{cases} x = 5 - 4u,\\\ y = 1 + 2u,\\\ z = -7 - 6u. \end{cases}

Passo 3

Para haver interseção, deve existir (t,u)\) tais que \(x_{\mathrm{r}} = x_{\mathrm{s}}\), \(y_{\mathrm{r}} = y_{\mathrm{s}}\) e \(z_{\mathrm{r}} = z_{\mathrm{s}}\). Isso gera o sistema:\r \[\begin{cases} 1 + 2t = 5 - 4u,\\\\ -3 - t = 1 + 2u,\\\\ 4 + 3t = -7 - 6u. \end{cases}
Da primeira equação vem\r
2t + 4u = 4 \quad\Longrightarrow\quad t + 2u = 2,
e da segunda\r
-3 - t = 1 + 2u \quad\Longrightarrow\quad -t - 2u = 4 \quad\Longrightarrow\quad t + 2u = -4.
Só já aqui vemos contradição: t+2u\] não pode ser simultaneamente \(2 e -4.

Passo 4

O sistema é inconsistente, então não há (t,u) que iguale todas as coordenadas. Além disso, os vetores diretores são \,(2,-1,3) e (-4,2,-6)=-2\,(2,-1,3), ou seja, as retas são paralelas mas não coincidentes. Logo, não se interceptam.

Resposta

As retas não se interceptam.

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