Encontre a equação geral do plano que passa pelos pontos A(1,2,3), B(2,-1,4) e C(0,3,-2).

Passo 1

O enunciado pede a equação geral do plano que passa pelos pontos A(1,2,3), B(2,-1,4) e C(0,3,-2).
Conteúdo: equação de um plano no espaço.
O que vamos precisar:
  1. Calcular dois vetores que pertençam ao plano (por exemplo \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}).
  2. Obter o vetor normal ao plano como \overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}.
  3. Usar a forma \overrightarrow{n}\cdot(\overrightarrow{r}-\overrightarrow{A})=0 para achar a equação geral.

Passo 2

Calcular os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}:
\overrightarrow{AB} = B - A = (2-1,\,-1-2,\,4-3) = (1,\,-3,\,1),
\overrightarrow{AC} = C - A = (0-1,\,3-2,\,-2-3) = (-1,\,1,\,-5).

Passo 3

Encontrar o vetor normal \overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}.
\overrightarrow{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & -3 & 1 \\\\ -1 & 1 & -5 \end{vmatrix} = \bigl((-3)(-5)-1\cdot1,\; -\bigl(1\cdot(-5)-1\cdot(-1)\bigr),\;1\cdot1-(-3)\cdot(-1)\bigr)
\overrightarrow{n} = (15-1,\;-(-5+1),\;1-3) = (14,\;4,\;-2).
Podemos simplificar por 2, obtendo
\overrightarrow{n} = (7,\,2,\,-1).

Passo 4

Usar a equação vetorial do plano com ponto A(1,2,3):
\overrightarrow{n}\cdot(\overrightarrow{r}-\overrightarrow{A})=0.
No componente x,y,z isso dá
7(x-1) + 2(y-2) -1\,(z-3) = 0.

Passo 5

Expandir e organizar em forma geral Ax+By+Cz+D=0:
7x -7 + 2y -4 -z +3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 7x + 2y - z -8 = 0.

Resposta

A equação geral do plano é
7x + 2y - z - 8 = 0.

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