Determine o rotacional, boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{F}, para as seguintes forças:
\mathbf{F}=\left(A y^{2}, B x, C z\right), onde A, B, C e k são constantes.

Passo 1

O enunciado dá a força (campo vetorial)
\mathbf{F}=\left(A y^{2},\, B x,\, C z\right),
onde A, B, C e k são constantes (note que k aparece listado entre as constantes do enunciado, mas não aparece em \mathbf{F}; portanto é irrelevante para este cálculo). A tarefa é determinar o rotacional \boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{F}, ou seja, o vetor cuja definição e componentes iremos usar para calcular o resultado.

Passo 2

O rotacional de um campo vetorial \mathbf{F}=(F_1,F_2,F_3) em coordenadas cartesianas é dado pelas componentes
(\nabla\times\mathbf{F})_1=\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z},
(\nabla\times\mathbf{F})_2=\frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x},
(\nabla\times\mathbf{F})_3=\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}.
Explicando devagar: cada componente do rotacional é uma diferença entre derivadas parciais cruzadas das componentes do campo. A notação \partial/\partial x significa derivada parcial em relação a x, isto é, trata as outras variáveis como constantes enquanto deriva em x.

Passo 3

Identifico as componentes do campo fornecido:
F_1 = A y^{2},\qquad F_2 = B x,\qquad F_3 = C z.
Agora vou calcular as derivadas parciais necessárias, uma a uma, explicando por que muitas ficam zero.

Passo 4

Calculemos as derivadas que aparecem nas fórmulas:
  • Para (\nabla\times\mathbf{F})_1 precisamos de \dfrac{\partial F_3}{\partial y} e de \dfrac{\partial F_2}{\partial z}.
    \frac{\partial F_3}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(C z)=0,
    porque C z não depende de y (no tratamento da parcial, z é tratado como constante).
    \frac{\partial F_2}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(B x)=0,
    porque B x não depende de z. Logo
    (\nabla\times\mathbf{F})_1 = 0-0=0.
  • Para (\nabla\times\mathbf{F})_2 precisamos de \dfrac{\partial F_1}{\partial z} e de \dfrac{\partial F_3}{\partial x}.
    \frac{\partial F_1}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(A y^{2})=0,
    porque A y^{2} não depende de z.
    \frac{\partial F_3}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(C z)=0,
    porque C z não depende de x. Logo
    (\nabla\times\mathbf{F})_2 = 0-0=0.
  • Para (\nabla\times\mathbf{F})_3 precisamos de \dfrac{\partial F_2}{\partial x} e de \dfrac{\partial F_1}{\partial y}.
    \frac{\partial F_2}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(B x)=B,
    porque a derivada de x em relação a x é 1 e B é constante;
    \frac{\partial F_1}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(A y^{2})=2A y,
    porque a derivada de y^{2} em relação a y é 2y e A é constante. Portanto
    (\nabla\times\mathbf{F})_3 = B - 2A y.

Passo 5

Juntando as componentes obtidas, o rotacional é o vetor
\nabla\times\mathbf{F} = \bigl(0,\,0,\,B-2A y\bigr).
Interpretação rápida e útil para prova: o rotacional só tem componente na direção z; ele é independente de x e z mas depende linearmente de y através do termo -2A y. Note também que C não aparece no rotacional porque as derivadas cruzadas envolvendo C z deram zero.
Uma observação prática: para que \mathbf{F} seja um campo conservativo (rotacional nulo em todo o espaço) seria necessário que B-2A y=0 para todo y, o que só ocorre se A=0 e B=0 simultaneamente.

Resposta

\nabla\times\mathbf{F}=\bigl(0,\,0,\,B-2A y\bigr)

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