Determine o rotacional,
, para as seguintes forças:
, onde
e
são constantes.
Passo 1
O enunciado dá a força (campo vetorial)
onde
,
,
e
são constantes (note que
aparece listado entre as constantes do enunciado, mas não aparece em
; portanto é irrelevante para este cálculo). A tarefa é determinar o rotacional
, ou seja, o vetor cuja definição e componentes iremos usar para calcular o resultado.
Passo 2
O rotacional de um campo vetorial
em coordenadas cartesianas é dado pelas componentes
Explicando devagar: cada componente do rotacional é uma diferença entre derivadas parciais cruzadas das componentes do campo. A notação
significa derivada parcial em relação a
, isto é, trata as outras variáveis como constantes enquanto deriva em
.
Passo 3
Identifico as componentes do campo fornecido:
Agora vou calcular as derivadas parciais necessárias, uma a uma, explicando por que muitas ficam zero.
Passo 4
Calculemos as derivadas que aparecem nas fórmulas:
-
Para
precisamos de e de . porquenão depende de (no tratamento da parcial, é tratado como constante). porquenão depende de . Logo -
Para
precisamos de e de . porquenão depende de . porquenão depende de . Logo -
Para
precisamos de e de . porque a derivada deem relação a é e é constante; porque a derivada deem relação a é e é constante. Portanto
Passo 5
Juntando as componentes obtidas, o rotacional é o vetor
Interpretação rápida e útil para prova: o rotacional só tem componente na direção
; ele é independente de
e
mas depende linearmente de
através do termo
. Note também que
não aparece no rotacional porque as derivadas cruzadas envolvendo
deram zero.
Uma observação prática: para que
seja um campo conservativo (rotacional nulo em todo o espaço) seria necessário que
para todo
, o que só ocorre se
e
simultaneamente.