4.18** Use a propriedade (4.35) do gradiente para mostrar os importantes resultados: (a) O vetor
um ponto qualquer
é perpendicular à superficie com
constante
. (Escolha um pequeno deslocamento dr que esteja sobre a superfície com
constante. O que é
para tal deslocamento?) (b) A direção do
em qualquer ponto
é a direçāo em que
cresce mais rapidamente quando nos afastamos de
. (Escolha um pequeno deslocamento
, onde u é um vetor unitário e
fixo e pequeno. Determine a direção de u para a qual o
correspondente é máximo, tendo em mente que
.)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- (a) Mostrar que o vetor
em um ponto qualquer é perpendicular à superfície definida por constante em . - (b) Mostrar que a direção de
em é a direção na qual aumenta mais rapidamente ao nos afastarmos de .
Informação que nos foi dada (a propriedade (4.35) do gradiente, que vamos usar explicitamente): para um pequeno deslocamento infinitesimal
em torno de
vale
Aqui
é a variação diferencial de
causada pelo deslocamento
, e
é o vetor gradiente de
no ponto
.
Passo 2
Explicando com calma a propriedade que vamos usar:
- A expressão
é o produto escalar entre dois vetores: o gradiente e o deslocamento . - Lembre que o produto escalar tem a forma
onde
é o ângulo entre
e
, e
denota norma (comprimento) do vetor.
- Assim, a fórmula
diz que a variação infinitesimal de ao deslocar-se por depende de quanto “projeta-se” na direção do gradiente.
Passo 3
Prova de (a): por que
é perpendicular à superfície de nível.
- Pense numa superfície de nível (superfície onde
tem um valor fixo) que passa por . Se nos deslocarmos ao longo dessa superfície por um pequeno vetor que fique totalmente sobre a superfície, o valor de não muda — porque por definição da superfície de nível é constante ali. - Logo, para qualquer deslocamento tangente à superfície de nível temos
- Usando a propriedade (4.35) temos então para esses deslocamentos tangentes
- Um produto escalar igual a zero significa exatamente que os vetores envolvidos são perpendiculares. Portanto
é perpendicular a qualquer vetor tangente à superfície de nível em . - Conclusão lógica:
é perpendicular (normal) à superfície de nível em .
Passo 4
Comentário didático sobre (a) — o que isso significa na prática:
- A superfície de nível tem um plano tangente em cada ponto (quando
é suficientemente suave). Todos os vetores dentro desse plano tangente são deslocamentos que mantêm constante. - Como
é perpendicular a qualquer vetor tangente, ele é o vetor normal ao plano tangente à superfície de nível. Isso é útil em muitas aplicações (normais a superfícies, otimização, geometria diferencial).
Passo 5
Prova de (b): direção de crescimento máximo de
.
- Vamos escolher um pequeno deslocamento da forma
onde
é fixo e pequeno e
é um vetor unitário (
). Nesse caso a variação correspondente de
é
- Usando a fórmula do produto escalar em função do ângulo
entre e obtemos
pois
.
- Agora queremos escolher a direção
(ou seja, escolher ) para maximizar . A única dependência de é através de . Como atinge seu máximo quando (ou seja, quando os vetores estão alinhados), o máximo ocorre quando tem a mesma direção de . - Assim a direção que maximiza o aumento de
é a direção do próprio . O valor máximo do incremento é
- Se escolhemos
na direção oposta ( ) obtemos o mínimo (variação mais negativa) .
Passo 6
Interpretação e exemplificação curta (pra fixar):
- Geometricamente: o gradiente aponta “para cima” na direção em que
aumenta mais depressa; sua magnitude diz quão rápido cresce por unidade de deslocamento nessa direção. - Exemplo simples: para
temos . No ponto o gradiente é , ou seja, aponta no sentido positivo de — isso coincide com a direção em que cresce mais rápido ali.
Resposta
(a)
é perpendicular à superfície de nível
constante em
, porque para qualquer deslocamento tangente
nessa superfície vale
e portanto
, implicando
.
(b) A direção de
é a direção de crescimento máximo de
. Para
com
temos
, que é máximo quando
, ou seja, quando
está alinhado com
; o máximo é
.