4.18** Use a propriedade (4.35) do gradiente para mostrar os importantes resultados: (a) O vetor \nabla f \mathrm{em} um ponto qualquer \mathbf{r} é perpendicular à superficie com f constante \mathrm{em} \mathbf{r}. (Escolha um pequeno deslocamento dr que esteja sobre a superfície com f constante. O que é d f para tal deslocamento?) (b) A direção do \nabla f em qualquer ponto \mathbf{r} é a direçāo em que f cresce mais rapidamente quando nos afastamos de \mathbf{r}. (Escolha um pequeno deslocamento d \mathbf{r}=\epsilon \mathbf{u}, onde u é um vetor unitário e \epsilon fixo e pequeno. Determine a direção de u para a qual o d f correspondente é máximo, tendo em mente que \mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=a b \cos \theta.)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • (a) Mostrar que o vetor \nabla f em um ponto qualquer \mathbf{r} é perpendicular à superfície definida por f= constante em \mathbf{r}.
  • (b) Mostrar que a direção de \nabla f em \mathbf{r} é a direção na qual f aumenta mais rapidamente ao nos afastarmos de \mathbf{r}.
Informação que nos foi dada (a propriedade (4.35) do gradiente, que vamos usar explicitamente): para um pequeno deslocamento infinitesimal d\mathbf{r} em torno de \mathbf{r} vale
d f = \nabla f \cdot d\mathbf{r}.
Aqui d f é a variação diferencial de f causada pelo deslocamento d\mathbf{r}, e \nabla f é o vetor gradiente de f no ponto \mathbf{r}.

Passo 2

Explicando com calma a propriedade que vamos usar:
  • A expressão \nabla f \cdot d\mathbf{r} é o produto escalar entre dois vetores: o gradiente \nabla f e o deslocamento d\mathbf{r}.
  • Lembre que o produto escalar tem a forma
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\|\mathbf{a}\|\,\|\mathbf{b}\|\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre \mathbf{a} e \mathbf{b}, e \|\cdot\| denota norma (comprimento) do vetor.
  • Assim, a fórmula d f = \nabla f \cdot d\mathbf{r} diz que a variação infinitesimal de f ao deslocar-se por d\mathbf{r} depende de quanto d\mathbf{r} “projeta-se” na direção do gradiente.

Passo 3

Prova de (a): por que \nabla f é perpendicular à superfície de nível.
  • Pense numa superfície de nível (superfície onde f tem um valor fixo) que passa por \mathbf{r}. Se nos deslocarmos ao longo dessa superfície por um pequeno vetor d\mathbf{r} que fique totalmente sobre a superfície, o valor de f não muda — porque por definição da superfície de nível f é constante ali.
  • Logo, para qualquer deslocamento tangente à superfície de nível temos
d f = 0.
  • Usando a propriedade (4.35) temos então para esses deslocamentos tangentes
0 = d f = \nabla f \cdot d\mathbf{r}.
  • Um produto escalar igual a zero significa exatamente que os vetores envolvidos são perpendiculares. Portanto \nabla f é perpendicular a qualquer vetor tangente d\mathbf{r} à superfície de nível em \mathbf{r}.
  • Conclusão lógica: \nabla f é perpendicular (normal) à superfície de nível em \mathbf{r}.

Passo 4

Comentário didático sobre (a) — o que isso significa na prática:
  • A superfície de nível tem um plano tangente em cada ponto (quando f é suficientemente suave). Todos os vetores dentro desse plano tangente são deslocamentos que mantêm f constante.
  • Como \nabla f é perpendicular a qualquer vetor tangente, ele é o vetor normal ao plano tangente à superfície de nível. Isso é útil em muitas aplicações (normais a superfícies, otimização, geometria diferencial).

Passo 5

Prova de (b): direção de crescimento máximo de f.
  • Vamos escolher um pequeno deslocamento da forma
d\mathbf{r}=\epsilon\,\mathbf{u},
onde \epsilon>0 é fixo e pequeno e \mathbf{u} é um vetor unitário ( \|\mathbf{u}\|=1). Nesse caso a variação correspondente de f é
d f = \nabla f \cdot d\mathbf{r} = \nabla f \cdot (\epsilon\,\mathbf{u}) = \epsilon\,(\nabla f\cdot\mathbf{u}).
  • Usando a fórmula do produto escalar em função do ângulo \theta entre \nabla f e \mathbf{u} obtemos
d f = \epsilon\,\|\nabla f\|\,\|\mathbf{u}\|\cos\theta = \epsilon\,\|\nabla f\|\cos\theta,
pois \|\mathbf{u}\|=1.
  • Agora queremos escolher a direção \mathbf{u} (ou seja, escolher \theta) para maximizar d f. A única dependência de \mathbf{u} é através de \cos\theta. Como \cos\theta atinge seu máximo quando \theta=0 (ou seja, quando os vetores estão alinhados), o máximo ocorre quando \mathbf{u} tem a mesma direção de \nabla f.
  • Assim a direção que maximiza o aumento de f é a direção do próprio \nabla f. O valor máximo do incremento é
d f_{\max}=\epsilon\,\|\nabla f\|.
  • Se escolhemos \mathbf{u} na direção oposta ( \theta=\pi) obtemos o mínimo (variação mais negativa) d f_{\min}=-\epsilon\,\|\nabla f\|.

Passo 6

Interpretação e exemplificação curta (pra fixar):
  • Geometricamente: o gradiente aponta “para cima” na direção em que f aumenta mais depressa; sua magnitude \|\nabla f\| diz quão rápido f cresce por unidade de deslocamento nessa direção.
  • Exemplo simples: para f(x,y)=x^2+y^2 temos \nabla f=(2x,2y). No ponto (1,0) o gradiente é (2,0), ou seja, aponta no sentido positivo de x — isso coincide com a direção em que x^2+y^2 cresce mais rápido ali.

Resposta

(a) \nabla f é perpendicular à superfície de nível f= constante em \mathbf{r}, porque para qualquer deslocamento tangente d\mathbf{r} nessa superfície vale d f=0 e portanto 0=\nabla f\cdot d\mathbf{r}, implicando \nabla f\perp d\mathbf{r}.
(b) A direção de \nabla f é a direção de crescimento máximo de f. Para d\mathbf{r}=\epsilon\mathbf{u} com \|\mathbf{u}\|=1 temos d f=\epsilon\|\nabla f\|\cos\theta, que é máximo quando \theta=0, ou seja, quando \mathbf{u} está alinhado com \nabla f; o máximo é d f_{\max}=\epsilon\|\nabla f\|.

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