4.19** (a) Descreva as superfícies definidas pela equação f= const, onde f=x^{2}+4 y^{2}. (b) Usando os resultados do Problema 4.18, determine um vetor unitário normal à superficie f=5 no ponto (1,1,1). Em que direção se deve mover a partir desse ponto para maximizar a taxa de variação de f ?

Passo 1

O enunciado dá a função \,f(x,y,z)=x^{2}+4y^{2}\, e pede duas coisas:
  • (a) Descrever as superfícies definidas por \,f=\text{const}\, (isto é, o que são as curvas/ superfícies dadas por \,x^{2}+4y^{2}=C\, para diferentes valores de \,C).
  • (b) Usando os resultados do Problema 4.18, determinar um vetor unitário normal à superfície \,f=5\, no ponto \,(1,1,1) e dizer em que direção se deve mover a partir desse ponto para maximizar a taxa de variação de f.
    Informações relevantes dadas: a expressão de f e o ponto (1,1,1); o nível considerado em (b) é \,f=5.

Passo 2

Entender o que significa a equação de nível \,x^{2}+4y^{2}=C\,.
  • Fixar um valor C significa que, para todos os pontos (x,y,z) que satisfazem \,x^{2}+4y^{2}=C\,, o valor de f é esse C.
  • Note que a variável z não aparece na equação: isso sugere que, para cada solução (x,y) no plano xy, qualquer valor de z é permitido — logo a superfície se estende paralelamente ao eixo z.
  • Para ver a forma no plano xy, escrevemos
x^{2}+4y^{2}=C \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{x^{2}}{C}+\frac{y^{2}}{C/4}=1 \quad (C>0).
Isto é a equação de uma elipse no plano xy quando C>0. Como não há restrição em z, a superfície é uma cilindro elíptico com geratriz paralela ao eixo z.

Passo 3

Tratar os casos especiais de C:
  • Se C>0: a seção no plano xy é uma elipse dada por \,x^{2}+4y^{2}=C\,. A superfície de nível é então um cilindro elíptico (a elipse estendida ao longo de z).
  • Se C=0: \,x^{2}+4y^{2}=0\, implica x=0 e y=0, logo os pontos são todos (0,0,z) para qualquer z: isto é exatamente o eixo z.
  • Se C<0: não há solução, pois x^{2}+4y^{2}\ge 0 para todos (x,y); portanto a superfície de nível está vazia.
    Exemplo numérico: para C=1 a elipse tem semi-eixos a=1 (em x) e b=\tfrac{1}{2} (em y); para C=5 os semi-eixos são \sqrt{5} em x e \tfrac{\sqrt{5}}{2} em y.

Passo 4

Usar os resultados do Problema 4.18 (que afirmam, entre outras coisas, que o vetor gradiente \nabla f é normal à superfície de nível e que a derivada direcional em direção unitária \mathbf{u} é \nabla f\cdot\mathbf{u}; a taxa máxima de variação ocorre na direção do gradiente e vale \|\nabla f\|).
Começamos calculando o gradiente de f. Por definição,
\nabla f(x,y,z)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right).
Aqui
\frac{\partial f}{\partial x}=2x,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=8y,\qquad \frac{\partial f}{\partial z}=0.
Logo
\nabla f(x,y,z)=(2x,8y,0).

Passo 5

Avaliar o gradiente no ponto dado (1,1,1):
\nabla f(1,1,1)=(2\cdot1,8\cdot1,0)=(2,8,0).
Esse vetor é normal à superfície \,f=5\, naquele ponto (pela propriedade do gradiente).
Para obter um vetor normal unitário, normalizamos \nabla f(1,1,1). Primeiro a norma:
\|\nabla f(1,1,1)\|=\sqrt{2^{2}+8^{2}+0^{2}}=\sqrt{4+64}=\sqrt{68}=2\sqrt{17}.
Dividindo pelo comprimento, o vetor unitário normal é
\mathbf{n}=\frac{\nabla f(1,1,1)}{\|\nabla f(1,1,1)\|} =\frac{1}{2\sqrt{17}}(2,8,0)=\left(\frac{1}{\sqrt{17}},\frac{4}{\sqrt{17}},0\right).

Passo 6

Interpretação da direção de máxima variação: segundo os resultados usados, a taxa de variação de f é máxima quando se move na direção do gradiente. Portanto, a direção a partir de (1,1,1) que maximiza a taxa de variação de f é a direção do vetor \nabla f(1,1,1)=(2,8,0), isto é, o vetor unitário \mathbf{n}=\left(\dfrac{1}{\sqrt{17}},\dfrac{4}{\sqrt{17}},0\right). A magnitude dessa taxa máxima é \|\nabla f(1,1,1)\|=2\sqrt{17}. Mover no sentido oposto produz a maior taxa de diminuição.

Resposta

(a) Para C>0: superfícies de nível \,x^{2}+4y^{2}=C\, são cilindros elípticos paralelos ao eixo z (cada seção z= const é uma elipse). Para C=0: o eixo z. Para C<0: nenhuma solução (vazio).
(b) Vetor normal unitário em (1,1,1): \left(\dfrac{1}{\sqrt{17}},\dfrac{4}{\sqrt{17}},0\right). Direção para maximizar a taxa de variação de f: na direção desse vetor (isto é, na direção de \nabla f(1,1,1)=(2,8,0)); a taxa máxima vale 2\sqrt{17}.

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