4.19** (a) Descreva as superfícies definidas pela equação
const, onde
. (b) Usando os resultados do Problema 4.18, determine um vetor unitário normal à superficie
no ponto
. Em que direção se deve mover a partir desse ponto para maximizar a taxa de variação de
?
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- (a) Descrever as superfícies definidas por
(isto é, o que são as curvas/ superfícies dadas por para diferentes valores de ). - (b) Usando os resultados do Problema 4.18, determinar um vetor unitário normal à superfície
no ponto e dizer em que direção se deve mover a partir desse ponto para maximizar a taxa de variação de .
Informações relevantes dadas: a expressão dee o ponto ; o nível considerado em (b) é .
Passo 2
Entender o que significa a equação de nível
.
- Fixar um valor
significa que, para todos os pontos que satisfazem , o valor de é esse . - Note que a variável
não aparece na equação: isso sugere que, para cada solução no plano , qualquer valor de é permitido — logo a superfície se estende paralelamente ao eixo . - Para ver a forma no plano
, escrevemos
Isto é a equação de uma elipse no plano
quando
. Como não há restrição em
, a superfície é uma cilindro elíptico com geratriz paralela ao eixo
.
Passo 3
Tratar os casos especiais de
:
- Se
: a seção no plano é uma elipse dada por . A superfície de nível é então um cilindro elíptico (a elipse estendida ao longo de ). - Se
: implica e , logo os pontos são todos para qualquer : isto é exatamente o eixo . - Se
: não há solução, pois para todos ; portanto a superfície de nível está vazia.
Exemplo numérico: paraa elipse tem semi-eixos (em ) e (em ); para os semi-eixos são em e em .
Passo 4
Usar os resultados do Problema 4.18 (que afirmam, entre outras coisas, que o vetor gradiente
é normal à superfície de nível e que a derivada direcional em direção unitária
é
; a taxa máxima de variação ocorre na direção do gradiente e vale
).
Começamos calculando o gradiente de . Por definição,
Começamos calculando o gradiente de
Aqui
Logo
Passo 5
Avaliar o gradiente no ponto dado
:
Esse vetor é normal à superfície
naquele ponto (pela propriedade do gradiente).
Para obter um vetor normal unitário, normalizamos
. Primeiro a norma:
Dividindo pelo comprimento, o vetor unitário normal é
Passo 6
Interpretação da direção de máxima variação: segundo os resultados usados, a taxa de variação de
é máxima quando se move na direção do gradiente. Portanto, a direção a partir de
que maximiza a taxa de variação de
é a direção do vetor
, isto é, o vetor unitário
. A magnitude dessa taxa máxima é
. Mover no sentido oposto produz a maior taxa de diminuição.
Resposta
(a) Para
: superfícies de nível
são cilindros elípticos paralelos ao eixo
(cada seção
const é uma elipse). Para
: o eixo
. Para
: nenhuma solução (vazio).
(b) Vetor normal unitário em :
. Direção para maximizar a taxa de variação de
: na direção desse vetor (isto é, na direção de
); a taxa máxima vale
.
(b) Vetor normal unitário em