Determine o rotacional e o divergente do campo vetorial.
(g) F(x, y) = (e^x sen(y), e^y sen(y), e^z sen(x)).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o rotacional e o divergente do campo vetorial . Isso está relacionado ao conteúdo de Cálculo Vetorial, especificamente às operações de rotacional (também conhecido como curl) e divergente. Para resolver, vamos precisar lembrar como calcular essas duas operações usando derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o divergente do campo vetorial . O divergente é uma operação que nos dá uma medida de quanto o campo está “saindo” de um ponto. A fórmula para o divergente de é:
Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. (porque a derivada de é e é tratado como uma constante em relação a ).
  2. (usando a regra do produto).
  3. (similar ao primeiro termo).
Agora, somando essas derivadas:

Passo 3

Agora, vamos calcular o rotacional (ou curl) do campo vetorial . O rotacional nos indica a tendência do campo vetorial de formar “redemoinhos” ao redor de um ponto. A fórmula para o rotacional de é dada pelo determinante da matriz:
Isso se expande para:
Vamos calcular cada componente:
  1. (pois não há na expressão).
  2. (pois não há na expressão).
Então, a componente é .
  1. .
  2. (pois não há na expressão).
Então, a componente é .
  1. (pois não há na expressão).
  2. .
Então, a componente é .
Portanto, juntando tudo:

Resposta

O divergente de é e o rotacional de é .

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