Determine se
é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função
tal que
.
(b)
.
(b)
Passo 1
Resumo do Enunciado:
Precisamos determinar se o campo vetorial é conservativo. Caso seja, devemos encontrar uma função
tal que
.
Precisamos determinar se o campo vetorial
Conteúdo Utilizado:
Vamos usar conceitos de campos vetoriais conservativos e propriedades dos gradientes.
Vamos usar conceitos de campos vetoriais conservativos e propriedades dos gradientes.
Passo 2
O que é um Campo Vetorial Conservativo?
Um campo vetorial é chamado de conservativo se existir uma função escalar
tal que
seja o gradiente dessa função, ou seja,
. Uma propriedade importante dos campos conservativos é que as derivadas parciais dos componentes do campo devem satisfazer certas condições de igualdade.
Um campo vetorial
Passo 3
Componentes do Campo Vetorial:
Identificamos os componentes do campo :
Identificamos os componentes do campo
onde
.
Passo 4
Verificando as Condições para ser Conservativo:
Para que seja conservativo em um domínio simplesmente conexo, é necessário que:
Para que
Vamos calcular essas derivadas parciais.
Passo 5
Calculando as Derivadas Parciais:
Passo 6
Comparando as Derivadas:
Agora, comparamos as derivadas obtidas:
Agora, comparamos as derivadas obtidas:
Para que sejam iguais, precisaríamos que
, o que somente ocorre para valores específicos de
, como
, onde
é inteiro. Porém, essa igualdade não é válida para todo
.
Resposta
Portanto, o campo vetorial
não é conservativo.