Determine o rotacional e o divergente dos campos vetoriais.
F(x, y, z)=x y z i+x^2 y k

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o divergente e o rotacional do campo vetorial F(x,y,z)=xyz,vec i + 0,vec j + x^2y,vec k. Vamos usar as fórmulas de divergente e rotacional em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Lembrando que para F=(P,Q,R) temos:
Divergente:

Rotacional:
$$\nabla\times F=\bigl(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\bigr),\vec i-\bigl(\frac{\partial R}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial z}\bigr),\vec j+\bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\bigr),\vec k
$$

Passo 3

Calculando o divergente:
partial Ppartial x=partial (xyz)partial x=yz, partial Qpartial y=0, partial Rpartial z=partial (x^2y)partial z=0
Logo:
nablacdot F=yz

Passo 4

Calculando o rotacional componente a componente:
partial Rpartial y=partial (x^2y)partial y=x^2, partial Qpartial z=0
partial Rpartial x=partial (x^2y)partial x=2xy, partial Ppartial z=partial (xyz)partial z=xy
partial Qpartial x=0, partial Ppartial y=partial (xyz)partial y=xz
Substituindo na fórmula:
nablatimes F=l(x^2-0r),vec i-l(2xy-xyr),vec j+l(0-xzr),vec k = x^2,vec i-xy,vec j-xz,vec k

Resposta

Divergente: yz.
Rotacional: x^2,vec i-xy,vec j-xz,vec k.

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