Calcule a integral de superfície.
integral duplaS x y z d s onde S é o cone X(u, v)=(u cos (v), u sen(v), u),(u, v) in[0,1] times[0, pi / 2].

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de superfície integral duplaS x y z,dS, onde S é o cone parametrizado por
X(u,v) = (ucos v,;usin v,;u), (u,v)in[0,1]times[0,tfracpi2]
Vamos usar os conceitos de integral de superfície de função escalar: parametrização da superfície, cálculo de Xutimes Xv e montagem de uma integral dupla.

Passo 2

Em termos de (u,v), as coordenadas são
x = ucos v, y = usin v, z = u
Então a função a integrar fica
xyz = (ucos v)(usin v)(u) = u^3cos vsin v

Passo 3

Para obter o elemento de área dS, calculamos as derivadas parciais:
Xu = (cos v,;sin v,;1), Xv = (-usin v,;ucos v,;0)
Seu produto vetorial é
Xutimes Xv = (-ucos v,;-usin v,;u)
e a norma dele é
|Xutimes Xv| = uraiz2

Passo 4

Assim, o elemento de área é dS = uraiz2,du,dv e a integral de superfície vira
integral duplaS x y z,dS = integral0^1integral0^pi/2 l(u^3cos vsin vr)l(uraiz2r),dv,du = raiz2integral0^1integral0^pi/2 u^4cos vsin v,dv,du

Passo 5

Primeiro integramos em v:
integral0^pi/2 cos vsin v,dv = tfrac12integral0^pi/2 sin(2v),dv = tfrac12l[-tfrac12cos(2v)r]0^pi/2 = tfrac12
Portanto a integral fica
raiz2integral0^1 u^4 cdot tfrac12,du = tfracraiz22integral0^1 u^4,du

Passo 6

Agora integramos em u:
integral0^1 u^4,du = 15
Logo
integral duplaS x y z,dS = raiz22 cdot 15 = raiz210

Resposta

dfracraiz210

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