Determine quando u e v são L D ou L I.
u=-5+2 t-8 t^{2}, v=2+3 t-5 t^{2}

Passo 1

O enunciado pede para verificar quando as funções \;u(t)=-5+2t-8t^2
e \;v(t)=2+3t-5t^2
são linearmente dependentes (LD) ou independentes (LI).
O método padrão para duas funções de uma variável é usar o wronskiano, definido por
W(t)= \begin{vmatrix} u(t) & v(t)\\\ u'(t) & v'(t) \end{vmatrix} = u(t)\,v'(t)-u'(t)\,v(t).

Passo 2

Calculemos as derivadas:
u'(t)=\frac{d}{dt}(-5+2t-8t^2)=2-16t,
v'(t)=\frac{d}{dt}(2+3t-5t^2)=3-10t.

Passo 3

Agora montamos o wronskiano:
W(t)=u(t)\,v'(t)-u'(t)\,v(t).
Substituindo:
u(t)\,v'(t)=(-5+2t-8t^2)(3-10t),
u'(t)\,v(t)=(2-16t)(2+3t-5t^2).
Fazendo as multiplicações e simplificando, chega-se a
W(t)=14\,t^2+82\,t-19.

Passo 4

As funções são linearly independent sempre que W(t)\neq0. Para achar onde W(t)=0, resolvemos
14\,t^2+82\,t-19=0.
Usando a fórmula quadrática,
t=\frac{-82\pm\sqrt{82^2-4\cdot14\cdot(-19)}}{2\cdot14} =\frac{-82\pm\sqrt{7788}}{28} =\frac{-41\pm\sqrt{1947}}{14}.

Resposta

As funções u e v são
– linearmente dependentes exatamente nos valores
t=\frac{-41+\sqrt{1947}}{14} \quad\text{e}\quad t=\frac{-41-\sqrt{1947}}{14}.
– linearmente independentes para qualquer outro t, pois aí W(t)\neq0.

Exercícios relacionados