Determine quais são os pontos críticos de cada função dada e classifique cada um como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela.
 
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de duas variáveis, 
 , e precisamos encontrar os pontos críticos dessa função. Ponto crítico é onde as derivadas parciais em relação a 
  e 
  são iguais a zero. Depois de encontrar esses pontos, vamos classificar cada um como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela.
Passo 2
Para encontrar os pontos críticos, precisamos calcular as derivadas parciais de 
  em relação a 
  e a 
  e igualá-las a zero.
Vamos calcular a derivada parcial em relação a 
 :
E a derivada parcial em relação a 
 :
Passo 3
Agora, igualamos cada derivada parcial a zero para encontrar os pontos críticos:
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de 
  e 
 .
Passo 4
Vamos resolver a equação (1) para 
 :
Agora, substituímos 
  na equação (2):
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por 16 para eliminar o denominador:
Fatorando 
 :
Então, temos duas possibilidades:
Passo 5
Agora, encontramos os valores correspondentes de 
  usando 
 :
- Para 
:  
Então, o primeiro ponto crítico é 
 .
- Para 
:  
Então, o segundo ponto crítico é 
 .
Passo 6
Agora que temos os pontos críticos, vamos classificá-los. Para isso, usamos o Teste da Segunda Derivada para funções de duas variáveis. Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
Em seguida, calculamos o discriminante 
 :
Dependendo do valor de 
  e de 
 , classificamos o ponto crítico:
- Se 
e : mínimo relativo  - Se 
e : máximo relativo  - Se 
: ponto de sela  - Se 
: teste inconclusivo  
Passo 7
Vamos aplicar o teste em cada ponto crítico.
- Ponto 
:  
Como 
 , o ponto 
  é um ponto de sela.
- Ponto 
:  
Como 
  e 
 , o ponto 
  é um mínimo relativo.
Resposta
Os pontos críticos da função 
  são:
- 
: ponto de sela  - 
: mínimo relativo