Determine quais são os pontos críticos de cada função dada e classifique cada um como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela.
 
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos os pontos críticos da função 
  e depois classificá-los como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela. Para isso, vamos usar o cálculo de derivadas parciais e o teste da segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos. Os pontos críticos ocorrem onde as derivadas parciais da função em relação a 
  e 
  são iguais a zero. Ou seja, vamos calcular 
  e 
  e igualar a zero.
Passo 3
Calculando a derivada parcial em relação a 
 :
E a derivada parcial em relação a 
 :
Passo 4
Agora, igualamos ambas as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Da equação (2), temos 
 .
Passo 5
Substituindo 
  na equação (1):
Então, o ponto crítico é 
 .
Passo 6
Agora, vamos classificar esse ponto usando o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
O discriminante 
  é dado por:
Passo 7
Interpretando o discriminante:
- Se 
e , é um mínimo relativo.  - Se 
e , é um máximo relativo.  - Se 
, é um ponto de sela.  
Como 
 , o ponto 
  é um ponto de sela.
Resposta
O ponto crítico é 
  e ele é um ponto de sela.