Determine as seguentes integrais indefindas
\int \sqrt[3]{x^{3}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \sqrt[3]{x^{3}}\,dx.
Informações dadas:
  • A função dentro da integral é a raiz cúbica de x^{3}, que pode ser escrita com potência como (x^{3})^{1/3}.
  • Quer-se uma primitiva (antiderivada) dessa função, isto é, uma expressão F(x) tal que F'(x) = \sqrt[3]{x^{3}}.

Passo 2

Simplificar a expressão dentro da integral usando potências. Lembre que, para potências de números reais, vale a regra
\bigl(x^{a}\bigr)^{b} = x^{ab}.
Aplicando com a=3 e b=1/3:
\bigl(x^{3}\bigr)^{1/3} = x^{3\cdot(1/3)} = x^{1} = x.
Comentário didático importante: para raízes de índice ímpar (como a cúbica) não há necessidade de valor absoluto — a raiz cúbica de um número negativo é negativa, portanto \sqrt[3]{x^{3}}=x para todo x\in\mathbb{R}. (Para raízes de índice par, como \sqrt{x^{2}}, aparece |x|.)

Passo 3

Agora a integral fica muito simples:
\int \sqrt[3]{x^{3}}\,dx = \int x\,dx.
Vamos lembrar a regra básica de integração (regra da potência): para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,
onde C é a constante de integração. Aqui n=1.

Passo 4

Aplicando a regra da potência com n=1:
\int x\,dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} + C = \frac{x^{2}}{2} + C.

Passo 5

Resumo e observação final: simplificamos \sqrt[3]{x^{3}} para x porque a operação é bem definida para todos os reais; integrando x com a regra da potência obtemos \dfrac{x^{2}}{2}+C. Se surgirem dúvidas por confundir com \sqrt{x^{2}}, lembre que nesse caso (índice 2) há valor absoluto, mas aqui (índice 3) não.

Resposta

\dfrac{x^{2}}{2} + C

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