Determine as seguentes integrais indefindas
\int \frac{d x}{x^{5}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{dx}{x^{5}}.
Informações dadas: a integranda é x^{-5}. O que se pede: uma primitiva (antiderivada) dessa função, isto é, uma função F(x) tal que F'(x)=x^{-5}. Não há condições adicionais (por exemplo intervalo), então a resposta deve conter a constante de integração C e lembrar que x\neq0.

Passo 2

Lembrete importante (regra do poder para integrais): para qualquer expoente n diferente de -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Explicando por que isso funciona: a derivada de x^{n+1} é (n+1)x^{n}. Assim, ao dividir por n+1 obtemos uma função cuja derivada é exatamente x^{n}. Aqui C é a constante de integração porque derivadas “perdem” constantes.
No que segue, a variável de integração é x e n representa o expoente da potência de x.

Passo 3

Identifique o expoente da integranda: a integranda é x^{-5}, então n=-5. Como n\neq-1, podemos aplicar diretamente a fórmula do passo anterior.
Calcule n+1:
n+1 = -5+1 = -4.

Passo 4

Aplicando a fórmula:
\int x^{-5}\,dx = \frac{x^{-4}}{-4}+C.
Aqui foi usado que \dfrac{x^{n+1}}{n+1} com n=-5 \dfrac{x^{-4}}{-4}.

Passo 5

Simplifique a expressão para uma forma mais comum: x^{-4}=\dfrac{1}{x^{4}}, então
\frac{x^{-4}}{-4} = -\frac{1}{4}\,x^{-4} = -\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{x^{4}} = -\frac{1}{4x^{4}}.
Portanto a primitiva pode ser escrita como -\dfrac{1}{4x^{4}}+C.

Passo 6

Verificação (cheque rápido): calcule a derivada de -\dfrac{1}{4x^{4}}+C. Reescrevendo -\dfrac{1}{4x^{4}} = -\dfrac{1}{4}x^{-4}, sua derivada é
-\frac{1}{4}\cdot(-4)x^{-5}=x^{-5},
que é exatamente a função integranda. Está certo. Lembre-se que tudo vale para x\neq0.

Resposta

-\dfrac{1}{4x^{4}}+C

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