Determine se a seguinte operação binária em
é comutativa e/ou associativa.
Passo 1
O enunciado define em
a operação
e pede para verificar se ela é comutativa (isto é, se
para todos
) e/ou associativa (isto é, se
para todos
).
Passo 2
Para testar a comutatividade, comparemos diretamente
e
:
Como soma é comutativa em
, temos
logo
para quaisquer
. Portanto a operação é comutativa.
Passo 3
Para testar a associatividade, basta encontrar um contraexemplo. Tomemos
Primeiro calculemos
e depois
:
Em seguida calculemos
e depois
:
Como
a operação não satisfaz a associatividade.
Resposta
A operação é comutativa e não é associativa.