Determine se a seguinte operação binária em R é comutativa e/ou associativa.
x * y=x^y+y^x

Passo 1

O enunciado define em R a operação
x * y = x^y + y^x
e pede para verificar se ela é comutativa (isto é, se x*y = y*x para todos x,y) e/ou associativa (isto é, se (x*y)*z = x*(y*z) para todos x,y,z).

Passo 2

Para testar a comutatividade, comparemos diretamente x*y e y*x:
x * y = x^y + y^x e y * x = y^x + x^y
Como soma é comutativa em R, temos
x^y + y^x = y^x + x^y,
logo
x * y = y * x
para quaisquer x,y. Portanto a operação é comutativa.

Passo 3

Para testar a associatividade, basta encontrar um contraexemplo. Tomemos
x=2, y=1, z=1
Primeiro calculemos x*y e depois (x*y)*z:
x * y = 2^1 + 1^2 = 2 + 1 = 3,
(x*y) * z = 3^1 + 1^3 = 3 + 1 = 4
Em seguida calculemos y*z e depois x*(y*z):
y * z = 1^1 + 1^1 = 1 + 1 = 2,
x * (y*z) = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8
Como
(x*y)*z = 4 neq 8 = x*(y*z),
a operação não satisfaz a associatividade.

Resposta

A operação é comutativa e não é associativa.

Exercícios relacionados