Forneça um exemplo de cada caso a seguir (diferente dos dados na sala de aula).
Uma operação binária que não seja comutativa nem associativa.
Sug: Procure operações em conjuntos pequenos (de três ou quatro elementos).

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de operação binária num conjunto pequeno (digamos três elementos) que não seja comutativa nem associativa. Vamos usar o conteúdo de definição de operação binária, comutatividade e associatividade para construir esse exemplo.

Passo 2

Escolhemos o conjunto
e definimos a operação pela tabela a seguir:
Ou seja, por exemplo, , e assim por diante.

Passo 3

Verificamos que a operação não é comutativa; basta achar a,bin S tais que a*bneq b*a. Por exemplo,
1*0 = 2 enquanto 0*1 = 1,
logo 1*0neq0*1, confirmando a ausência de comutatividade.

Passo 4

Agora mostramos que a operação não é associativa; isto é, existe a,b,cin S com
(a*b)*c neq a*(b*c)
Tomemos a=b=1 e c=0. Então
(1*1)*0 = 1*0 = 2,
porém
1*(1*0) = 1*2 = 0
Como 2neq0, a associatividade falha.

Resposta

Conjunto com a operação dada pela tabela
Esta operação não é comutativa, pois , e não é associativa, pois .

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