Determine quais dos seguintes conjuntos são bases de R^2
: (1,0),(0,1).

Passo 1

Vamos resolver um exercício de álgebra linear que pergunta se o conjunto (1,0),(0,1) é uma base do R^2. Para isso, precisamos entender o que é uma base e quais condições um conjunto de vetores deve satisfazer para ser considerado uma.

Passo 2

Primeiro, o que é uma base? Uma base de um espaço vetorial, como o R^2, é um conjunto de vetores que geram todo o espaço e que são linearmente independentes. Isso significa duas coisas:
  1. Gerar o espaço: Qualquer vetor do espaço pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base.
  2. Ser linearmente independente: Nenhum vetor da base pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores da base.

Passo 3

Vamos verificar se os vetores (1,0) e (0,1) são linearmente independentes. Para isso, imaginamos que existe uma combinação linear desses vetores que resulta no vetor zero (0,0):
a(1,0) + b(0,1) = (0,0)
Isso dá o sistema de equações:
a cdot 1 + b cdot 0 = 0 a cdot 0 + b cdot 1 = 0
Simplificando:
a = 0 b = 0
A única solução é a = 0 e b = 0, o que significa que os vetores são linearmente independentes.

Passo 4

Agora, vamos verificar se esses vetores geram o R^2. Isso quer dizer que qualquer vetor (x,y) no R^2 pode ser escrito como uma combinação linear de (1,0) e (0,1):
x(1,0) + y(0,1) = (x, y)
Como conseguimos expressar qualquer vetor do R^2 dessa forma, os vetores (1,0) e (0,1) geram todo o espaço.

Resposta

Sim, o conjunto (1,0),(0,1) é uma base de R^2.

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