Determine quais dos seguintes conjuntos são bases de
:
.
:
Passo 1
Vamos resolver um exercício de álgebra linear que pergunta se o conjunto
é uma base do
. Para isso, precisamos entender o que é uma base e quais condições um conjunto de vetores deve satisfazer para ser considerado uma.
Passo 2
Primeiro, o que é uma base? Uma base de um espaço vetorial, como o
, é um conjunto de vetores que geram todo o espaço e que são linearmente independentes. Isso significa duas coisas:
- Gerar o espaço: Qualquer vetor do espaço pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base.
- Ser linearmente independente: Nenhum vetor da base pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores da base.
Passo 3
Vamos verificar se os vetores
e
são linearmente independentes. Para isso, imaginamos que existe uma combinação linear desses vetores que resulta no vetor zero
:
Isso dá o sistema de equações:
Simplificando:
A única solução é
e
, o que significa que os vetores são linearmente independentes.
Passo 4
Agora, vamos verificar se esses vetores geram o
. Isso quer dizer que qualquer vetor
no
pode ser escrito como uma combinação linear de
e
:
Como conseguimos expressar qualquer vetor do
dessa forma, os vetores
e
geram todo o espaço.
Resposta
Sim, o conjunto
é uma base de
.