As extremidades de um diâmetro de uma circunferência são (-2,-1) e (-4,-3). Determine a equação reduzida da circunferência.

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver um exercício de geometria. A questão nos dá as extremidades de um diâmetro de uma circunferência e pede para encontrar a equação reduzida dessa circunferência. Para isso, vamos precisar saber como achar o centro e o raio da circunferência usando as coordenadas dos pontos fornecidos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o centro da circunferência. O centro está exatamente no ponto médio do diâmetro. Então, precisamos calcular a média das coordenadas dos dois pontos dados para achar esse ponto médio.

Passo 3

A fórmula para encontrar o ponto médio entre dois pontos ( x1 + x22, y1 + y22 ) e xmédio = -2 + (-4)2 = -62 = -3 é:
ymédio = -1 + (-3)2 = -42 = -2
Vamos aplicar isso aos pontos e :
é
é
Então, o centro da circunferência é .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o raio da circunferência. Como temos o diâmetro, o raio é simplesmente metade do comprimento desse diâmetro. Para isso, vamos calcular a distância entre os dois pontos dados, que será o comprimento do diâmetro.

Passo 5

A fórmula para calcular a distância entre dois pontos d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 e d = raiz(-4 - (-2))^2 + (-3 - (-1))^2 = raiz(-2)^2 + (-2)^2 = raiz4 + 4 = raiz8 = 2raiz2 é:
Aplicando aos nossos pontos:
Então, o diâmetro mede unidades.

Passo 6

O raio r = d2 = 2raiz22 = raiz2 é metade do diâmetro:

Passo 7

Com o centro (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 e o raio , podemos escrever a equação reduzida da circunferência usando a fórmula:

Resposta

Substituindo os valores encontrados:
(x + 3)^2 + (y + 2)^2 = (raiz2)^2
Simplificando:
(x + 3)^2 + (y + 2)^2 = 2

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