Determine as seguintes derivadas: f'(x), em que f(x) = (1/3) ln(((x-1)^{3}(x-2))/(x^{2}+x+1))

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função . Aqui, vamos usar o conteúdo de cálculo diferencial, mais especificamente regras de derivação como a derivada de logaritmos e a regra da cadeia. Precisamos lembrar como derivar logaritmos e como aplicar a regra da cadeia para resolver essa questão.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo. A função está configurada como um logaritmo natural de uma fração, então podemos usar propriedades dos logaritmos para separar os termos:
Isso nos ajudará a derivar cada parte separadamente.

Passo 3

Agora, vamos derivar cada termo individualmente. Lembre-se que a derivada de em relação a é . Também vamos aplicar a regra da cadeia quando necessário.
Primeiro, a derivada de :
Para derivar o logaritmo de um produto, usamos a regra :
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos derivar o segundo termo :
Usando a derivada do logaritmo:

Passo 5

Agora, vamos juntar as derivadas dos dois termos:
Simplificando o primeiro termo:

Resposta

A derivada da função é:

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