lim x 0 e^3 x-1sen(5 x)

Passo 1

Ok, vamos resolver o limite . Esse problema faz parte do conteúdo de Cálculo, mais especificamente no estudo de limites. Para resolver, vamos precisar conhecer algumas propriedades básicas das funções exponencial e seno quando se aproxima de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o numerador e^kx approx 1 + kx . Sabemos que para valores muito pequenos de e^3x approx 1 + 3x , a função exponencial pode ser aproximada pela série de Taylor:
e^3x - 1 approx 3x
onde é uma constante. No nosso caso, , então:
Subtraindo 1, temos:

Passo 3

Agora, vamos olhar para o denominador sen(kx) approx kx . Para valores pequenos de sen(5x) approx 5x , o seno também pode ser aproximado pela própria entrada:
onde é uma constante. Aqui, , então:

Passo 4

Com essas aproximações, podemos reescrever o limite original substituindo as expressões:
lim x 0 e^3 x-1sen(5 x) approx lim x 0 3x5x

Passo 5

Simplificando a fração 3x5x = 35 , o no numerador e no denominador se cancelam:
Como não há mais na expressão, o limite é simplesmente .

Resposta

O limite é .

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