Usando fasores, determine:
20 \operatorname{sen} 400 t+10 \cos \left(400 t+60^{\circ}\right) -5 \operatorname{sen}\left(400 t-20^{\circ}\right)

Passo 1

O enunciado pede para somar as três ondas harmônicas de mesma frequência usando fasores e dar o resultado como uma única senoide (ou cossenoide). As informações dadas são:
\text{Termos: }20\operatorname{sen}(400t),\quad 10\cos\bigl(400t+60^\circ\bigr),\quad -5\operatorname{sen}\bigl(400t-20^\circ\bigr).
A pergunta implícita é: qual é a soma desses três termos expressa como uma única função do tempo do tipo \displaystyle A\cos(400t+\varphi) ou \displaystyle A\operatorname{sen}(400t+\psi)?

Passo 2

Ideia dos fasores (explicação didática curtinha, sem pular etapas):
Um fasor representa amplitude e fase de uma senoide no domínio complexo, usando referência em cosseno: \displaystyle A\cos(\omega t+\theta) corresponde ao fasor complexo \displaystyle A\angle\theta, ou em forma retangular \displaystyle A(\cos\theta+j\operatorname{sen}\theta). Para somar sinais de mesma \omega basta transformar cada termo em um fasor (na mesma referência, aqui escolhemos cosseno), somar os fasores como números complexos e então voltar ao tempo: o fasor resultante \displaystyle A\angle\varphi corresponde a \displaystyle A\cos(\omega t+\varphi). Se quiser em seno, use \displaystyle \cos(x)=\operatorname{sen}(x+90^\circ).

Passo 3

Converter cada termo para referência em cosseno:
  • Para \displaystyle 20\operatorname{sen}(400t) usamos \displaystyle \operatorname{sen} x=\cos(x-90^\circ). Então
20\operatorname{sen}(400t)=20\cos\bigl(400t-90^\circ\bigr),
ou seja o fasor é \displaystyle 20\angle -90^\circ.
  • Para \displaystyle 10\cos(400t+60^\circ) já está em forma de cosseno, logo o fasor é \displaystyle 10\angle 60^\circ.
  • Para \displaystyle -5\operatorname{sen}(400t-20^\circ) primeiro escrevemos seno como cosseno:
-5\operatorname{sen}(400t-20^\circ)=-5\cos\bigl(400t-20^\circ-90^\circ\bigr)=-5\cos\bigl(400t-110^\circ\bigr).
Um fator negativo no fasor -5\angle -110^\circ pode ser convertido para amplitude positiva somando 180^\circ à fase:
-5\angle -110^\circ = 5\angle( -110^\circ + 180^\circ)=5\angle 70^\circ.
Portanto o terceiro termo tem fasor \displaystyle 5\angle 70^\circ.
Resumo dos fasores (referência cosseno):
F_1=20\angle(-90^\circ),\quad F_2=10\angle 60^\circ,\quad F_3=5\angle 70^\circ.

Passo 4

Passar cada fasor para forma retangular (parte real = A\cos\theta, parte imaginária = A\operatorname{sen}\theta). Vou usar valores trigonométricos conhecidos:
\cos 60^\circ=\tfrac{1}{2},\quad \operatorname{sen} 60^\circ=\tfrac{\sqrt{3}}{2}\approx 0,8660254,
e as aproximações
\cos 70^\circ\approx 0,3420201,\quad \operatorname{sen} 70^\circ\approx 0,9396926,\quad \cos(-90^\circ)=0,\quad \operatorname{sen}(-90^\circ)=-1.
Calculemos componente a componente:
  • Para \displaystyle F_1=20\angle(-90^\circ):
\Re\{F_1\}=20\cos(-90^\circ)=20\cdot 0=0,
\Im\{F_1\}=20\operatorname{sen}(-90^\circ)=20\cdot(-1)=-20,
ou seja F_1=0 - j20.
  • Para \displaystyle F_2=10\angle 60^\circ:
\Re\{F_2\}=10\cos 60^\circ=10\cdot\tfrac{1}{2}=5,
\Im\{F_2\}=10\operatorname{sen} 60^\circ=10\cdot 0,8660254\approx 8,6602540,
ou seja F_2\approx 5 + j8,6602540.
  • Para \displaystyle F_3=5\angle 70^\circ:
\Re\{F_3\}=5\cos 70^\circ\approx 5\cdot 0,3420201\approx 1,7101005,
\Im\{F_3\}=5\operatorname{sen} 70^\circ\approx 5\cdot 0,9396926\approx 4,6984630,
ou seja F_3\approx 1,7101005 + j4,6984630.

Passo 5

Somar as partes reais e imaginárias dos fasores:
\Re\{F_{\text{res}}\}=0 + 5 + 1,7101005 \approx 6,7101005,
\Im\{F_{\text{res}}\}=-20 + 8,6602540 + 4,6984630 \approx -6,6412830.
Logo o fasor resultante em retangular é
F_{\text{res}}\approx 6,7101005 - j6,6412830.

Passo 6

Calcular magnitude A e fase \varphi do fasor resultante:
A=\sqrt{\bigl(\Re\{F_{\text{res}}\}\bigr)^2+\bigl(\Im\{F_{\text{res}}\}\bigr)^2} =\sqrt{(6,7101005)^2+(-6,6412830)^2}.
Computando:
A\approx 9,4445\quad(\text{aproximadamente}).
A fase é dada por \varphi=\operatorname{atan2}\bigl(\Im\{F_{\text{res}}\},\Re\{F_{\text{res}}\}\bigr). Como a parte imaginária é negativa e a real positiva, o ângulo está no quarto quadrante:
\varphi\approx \operatorname{atan2}(-6,6412830,\,6,7101005)\approx -44,7^\circ.

Passo 7

Voltar ao domínio do tempo. Em referência a cosseno, o resultado é
\boxed{\,9,4445\cos\bigl(400t-44,7^\circ\bigr)\,}.
Se preferir escrever como seno (lembrando \cos x=\operatorname{sen}(x+90^\circ)), então
9,4445\cos\bigl(400t-44,7^\circ\bigr)=9,4445\operatorname{sen}\bigl(400t+45,3^\circ\bigr).
(Observação: 45,3^\circ vem de -44,7^\circ+90^\circ.)

Resposta

9,4445\cos\bigl(400t-44,7^\circ\bigr) \n
9,4445\operatorname{sen}\bigl(400t+45,3^\circ\bigr)

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