Usando fasores, determine:
Passo 1
O enunciado pede para somar as três ondas harmônicas de mesma frequência usando fasores e dar o resultado como uma única senoide (ou cossenoide). As informações dadas são:
A pergunta implícita é: qual é a soma desses três termos expressa como uma única função do tempo do tipo
ou
?
Passo 2
Ideia dos fasores (explicação didática curtinha, sem pular etapas):
Um fasor representa amplitude e fase de uma senoide no domínio complexo, usando referência em cosseno: corresponde ao fasor complexo
, ou em forma retangular
. Para somar sinais de mesma
basta transformar cada termo em um fasor (na mesma referência, aqui escolhemos cosseno), somar os fasores como números complexos e então voltar ao tempo: o fasor resultante
corresponde a
. Se quiser em seno, use
.
Um fasor representa amplitude e fase de uma senoide no domínio complexo, usando referência em cosseno:
Passo 3
Converter cada termo para referência em cosseno:
- Para
usamos . Então
ou seja o fasor é
.
-
Para
já está em forma de cosseno, logo o fasor é . -
Para
primeiro escrevemos seno como cosseno:
Um fator negativo no fasor
pode ser convertido para amplitude positiva somando
à fase:
Portanto o terceiro termo tem fasor
.
Resumo dos fasores (referência cosseno):
Passo 4
Passar cada fasor para forma retangular (parte real =
, parte imaginária =
). Vou usar valores trigonométricos conhecidos:
e as aproximações
Calculemos componente a componente:
- Para
:
ou seja
.
- Para
:
ou seja
.
- Para
:
ou seja
.
Passo 5
Somar as partes reais e imaginárias dos fasores:
Logo o fasor resultante em retangular é
Passo 6
Calcular magnitude
e fase
do fasor resultante:
Computando:
A fase é dada por
. Como a parte imaginária é negativa e a real positiva, o ângulo está no quarto quadrante:
Passo 7
Voltar ao domínio do tempo. Em referência a cosseno, o resultado é
Se preferir escrever como seno (lembrando
), então
(Observação:
vem de
.)