Usando fasores, determine:
3 \cos \left(20 t+10^{\circ}\right)-5 \cos \left(20 t-30^{\circ}\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular a combinação linear
3\cos\!\left(20t+10^\circ\right)-5\cos\!\left(20t-30^\circ\right).
Dados relevantes:
\text{Termo 1: }3\cos\!\left(20t+10^\circ\right)
\text{Termo 2: }-5\cos\!\left(20t-30^\circ\right)
O objetivo é somar essas duas oscilações (mesma frequência \omega=20) e escrever o resultado na forma de uma única cosenoide do tipo A\cos\!\left(20t+\varphi\right).

Passo 2

Conceito necessário (explicação didática): escrevemos cada cosseno como a parte real de um fasor complexo. A relação que usamos é
A\cos\!\left(\omega t+\varphi\right)=\Re\{A e^{j\varphi} e^{j\omega t}\}.
Aqui:
  • A é a amplitude (número real positivo),
  • \varphi é a fase em radianos ou graus (aqui usamos graus),
  • j é a unidade imaginária ( j^2=-1),
  • \Re\{\cdot\} significa “parte real de …”.
    O “fasor” associado a A\cos(\omega t+\varphi) é simplesmente A\angle\varphi (ou A e^{j\varphi}). Somar sinais no tempo com mesma \omega equivale a somar/subtrair os respectivos fasores (complexos) e depois voltar à forma temporal tomando a parte real.

Passo 3

Transformamos cada termo em seu fasor (representação polar):
\text{Fasor 1: } \; 3\angle 10^\circ
\text{Fasor 2: } \; 5\angle (-30^\circ)
Como o segundo termo tem sinal negativo no enunciado, na soma de fasores fazemos
\text{Fasor resultante } = 3\angle 10^\circ \;-\; 5\angle (-30^\circ).

Passo 4

Passamos os fasores para forma retangular (parte real e imaginária), usando \cos e \sin:
3\angle 10^\circ = 3\big(\cos 10^\circ + j\sin 10^\circ\big)
5\angle (-30^\circ) = 5\big(\cos(-30^\circ) + j\sin(-30^\circ)\big).
Calculamos os valores numéricos (usando aproximações decimais):
\cos 10^\circ \approx 0,984807753,\quad \sin 10^\circ \approx 0,173648178,
\cos(-30^\circ)=\cos 30^\circ \approx 0,866025404,\quad \sin(-30^\circ)=-0,5.
Multiplicando:
3\angle 10^\circ \approx 2,954423259 + j\,0,520944534,
5\angle (-30^\circ) \approx 4,330127020 - j\,2,5.

Passo 5

Subtraímos os fasores em forma retangular:
R = (2,954423259 + j\,0,520944534) - (4,330127020 - j\,2,5).
Real e imaginária separadas:
\Re\{R\} = 2,954423259 - 4,330127020 = -1,375703761,
\Im\{R\} = 0,520944534 - (-2,5) = 3,020944534.
Portanto
R \approx -1,375703761 + j\,3,020944534.

Passo 6

Calculamos a magnitude do fasor resultante com a fórmula
|R|=\sqrt{(\Re\{R\})^2+(\Im\{R\})^2}.
Substituindo os números:
|R| \approx \sqrt{(-1,375703761)^2 + (3,020944534)^2}
\quad\approx \sqrt{1,892564779 + 9,126105804}
\quad\approx \sqrt{11,018670583}
\quad\approx 3,31944.

Passo 7

Calculamos a fase (ângulo) do fasor resultante com a função arco-tangente, levando em conta o quadrante:
\varphi = \operatorname{atan2}\big(\Im\{R\},\Re\{R\}\big).
Aqui \Re\{R\}<0 e \Im\{R\}>0, ou seja, estamos no quadrante II, então
\varphi = 180^\circ - \arctan\!\left(\frac{|\Im\{R\}|}{|\Re\{R\}|}\right).
Calculando a razão:
\frac{|\Im\{R\}|}{|\Re\{R\}|} \approx \frac{3,020944534}{1,375703761} \approx 2,19592,
\arctan(2,19592) \approx 65,506^\circ,
\varphi \approx 180^\circ - 65,506^\circ = 114,494^\circ.

Passo 8

Voltamos ao domínio do tempo: o resultado em forma de coseno é
|R|\cos\!\left(20t+\varphi\right).
Substituindo os valores aproximados obtidos:
\boxed{3,31944\cos\!\big(20t+114,494^\circ\big)}.
Podemos arredondar para um número prático (por exemplo 3 casas decimais):
\boxed{3,319\cos\!\big(20t+114,494^\circ\big)}.

Resposta

3,31944\cos\!\big(20t+114,494^\circ\big)

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