Determine as seguintes integrais definidas:
6.
\int_{0}^{\pi} \cos ^{3}(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\pi} \cos^{3}(x)\,dx.
Informações dadas:
\text{integrando: }\cos^{3}(x),\qquad \text{limites: }x=0\text{ até }x=\pi.é
Não há outras condições; queremos o valor numérico da integral.

Passo 2

Vamos simplificar a função \cos^{3}(x) usando uma identidade trigonométrica que expressa a potência cúbica em termos de cossenos de ângulos múltiplos. Para obter essa identidade, comece pela fórmula de ângulo duplo e pela soma de ângulos:
\cos(2x)=2\cos^{2}(x)-1,
\cos(3x)=\cos(2x+x)=\cos(2x)\cos x-\sin(2x)\sin x.
Agora substituímos \cos(2x) e \sin(2x)=2\sin x\cos x:
\cos(3x)=(2\cos^{2}x-1)\cos x-(2\sin x\cos x)\sin x.
Como \sin^{2}x=1-\cos^{2}x, temos
(2\sin x\cos x)\sin x=2\sin^{2}x\cos x=2(1-\cos^{2}x)\cos x=2\cos x-2\cos^{3}x.
Substituindo de volta:
\cos(3x)=(2\cos^{2}x-1)\cos x-(2\cos x-2\cos^{3}x)=4\cos^{3}x-3\cos x.

Passo 3

Isolando \cos^{3}(x) da identidade \cos(3x)=4\cos^{3}x-3\cos x, obtemos
\cos^{3}(x)=\frac{1}{4}\bigl(\cos(3x)+3\cos x\bigr).
Essa é a fórmula que vamos integrar — ela transforma a potência em somas de cossenos simples, que são fáceis de integrar.

Passo 4

Substituindo na integral:
\int_{0}^{\pi}\cos^{3}(x)\,dx=\int_{0}^{\pi}\frac{1}{4}\bigl(\cos(3x)+3\cos x\bigr)\,dx =\frac{1}{4}\left(\int_{0}^{\pi}\cos(3x)\,dx+3\int_{0}^{\pi}\cos x\,dx\right).
Lembrando que a primitiva de \cos(ax) é \dfrac{1}{a}\sin(ax), porque \dfrac{d}{dx}\sin(ax)=a\cos(ax). Então calculamos cada integral definida:
\int_{0}^{\pi}\cos(3x)\,dx=\left.\frac{1}{3}\sin(3x)\right|_{0}^{\pi}=\frac{1}{3}\bigl(\sin(3\pi)-\sin(0)\bigr)=\frac{1}{3}(0-0)=0,
\int_{0}^{\pi}\cos x\,dx=\left.\sin x\right|_{0}^{\pi}=\sin(\pi)-\sin(0)=0-0=0.

Passo 5

Substituindo esses resultados na expressão da integral:
\int_{0}^{\pi}\cos^{3}(x)\,dx=\frac{1}{4}\bigl(0+3\cdot 0\bigr)=0.
Uma observação intuitiva: \cos^{3}(x) é uma função ímpar em torno de x=\tfrac{\pi}{2} (ou seja, tem áreas positiva e negativa iguais no intervalo [0,\pi]), por isso a integral dá zero — mas o cálculo acima mostrou isso de forma direta usando identidades e integrais.

Resposta

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