Determine as seguintes integrais definidas:
3.
\int_{0}^{1} \frac{x}{x^{2}+1} d x

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a integral definida
\int_{0}^{1} \frac{x}{x^{2}+1}\,dx.
Informações dadas:
  • A função integranda é \frac{x}{x^{2}+1}.
  • Os limites de integração são 0 (inferior) e 1 (superior).
  • A variável de integração é x.
    A tarefa é encontrar o valor numérico dessa integral definida.

Passo 2

Ideia de resolução (sem resolver ainda): note que o denominador é x^{2}+1 e o numerador é x. Uma técnica natural aqui é a substituição (trocar a variável) usando como nova variável algo relacionado ao denominador, porque a derivada de x^{2}+1 é 2x, que está proporcional ao numerador. Vou usar essa substituição e explico cada passo.

Passo 3

Faço a substituição. Defino a nova variável
u = x^{2}+1.
Agora calculo du em termos de dx. Diferenciando ambos os lados em relação a x,
\frac{du}{dx} = 2x \quad\Rightarrow\quad du = 2x\,dx.
Isolo x\,dx porque é o que aparece na integral:
x\,dx = \frac{1}{2}\,du.
Também preciso transformar os limites de integração (porque é integral definida). Quando x=0,
u = 0^{2}+1 = 1.
Quando x=1,
u = 1^{2}+1 = 2.

Passo 4

Substituo tudo na integral original. A integral em x
\int_{0}^{1} \frac{x}{x^{2}+1}\,dx
vira, em u,
\int_{u=1}^{u=2} \frac{1}{u}\cdot\left(\frac{1}{2}\,du\right).
Posso tirar a constante \tfrac{1}{2} para fora:
\frac{1}{2}\int_{1}^{2} \frac{1}{u}\,du.

Passo 5

Agora lembro uma fórmula básica de integrais: a primitiva de \frac{1}{u} é \ln|u|, porque a derivada de \ln|u| é \frac{1}{u}. Aqui u varia entre 1 e 2, sempre positiva, então posso usar \ln u sem problema. Assim
\frac{1}{2}\int_{1}^{2}\frac{1}{u}\,du = \frac{1}{2}\big[\ln u\big]_{1}^{2}.
Agora avalio no intervalo:
\frac{1}{2}\big(\ln 2 - \ln 1\big).

Passo 6

Simplifico: \ln 1 = 0, logo o resultado é
\frac{1}{2}\ln 2.
Vou só comentar um atalho/verificação rápida: como \frac{d}{dx}\big(\ln(x^{2}+1)\big)=\frac{2x}{x^{2}+1}, a primitiva de \frac{x}{x^{2}+1} é \frac{1}{2}\ln(x^{2}+1). Avaliando entre 0 e 1 dá o mesmo resultado.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}\ln 2

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