Determine as seguintes integrais definidas:
3.
3.
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a integral definida
Informações dadas:
- A função integranda é
. - Os limites de integração são
(inferior) e (superior). - A variável de integração é
.
A tarefa é encontrar o valor numérico dessa integral definida.
Passo 2
Ideia de resolução (sem resolver ainda): note que o denominador é
e o numerador é
. Uma técnica natural aqui é a substituição (trocar a variável) usando como nova variável algo relacionado ao denominador, porque a derivada de
é
, que está proporcional ao numerador. Vou usar essa substituição e explico cada passo.
Passo 3
Faço a substituição. Defino a nova variável
Agora calculo
em termos de
. Diferenciando ambos os lados em relação a
,
Isolo
porque é o que aparece na integral:
Também preciso transformar os limites de integração (porque é integral definida). Quando
,
Quando
,
Passo 4
Substituo tudo na integral original. A integral em
vira, em
,
Posso tirar a constante
para fora:
Passo 5
Agora lembro uma fórmula básica de integrais: a primitiva de
é
, porque a derivada de
é
. Aqui
varia entre
e
, sempre positiva, então posso usar
sem problema. Assim
Agora avalio no intervalo:
Passo 6
Simplifico:
, logo o resultado é
Vou só comentar um atalho/verificação rápida: como
, a primitiva de
é
. Avaliando entre
e
dá o mesmo resultado.