Determine se os seguintes potenciais satisfazem a equação de Laplace:
V=x^{2}-y^{2}+z^{2}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se o potencial dado satisfaz a equação de Laplace. Informação fornecida:
  • O potencial é V(x,y,z)=x^{2}-y^{2}+z^{2}.
    A pergunta explícita é: V satisfaz a equação de Laplace \nabla^{2}V=0 em \mathbb{R}^{3}?

Passo 2

O que é a equação de Laplace e como vamos testar isso.
  • A equação de Laplace para uma função V(x,y,z) é
\nabla^{2}V=0.
  • O operador Laplaciano \nabla^{2} em coordenadas cartesianas é a soma das segundas derivadas parciais:
\nabla^{2}V=\frac{\partial^{2}V}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}V}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}V}{\partial z^{2}}.
Explicando: \frac{\partial^{2}V}{\partial x^{2}} significa “derivar V em relação a x duas vezes, mantendo y,z fixos”. O plano é calcular cada segunda derivada e somá-las; se o resultado for zero para todos (x,y,z) então V é harmônica (satisfaz Laplace).

Passo 3

Calcular as primeiras derivadas parciais de V.
  • Para x: como V tem termo x^{2}, derivando uma vez obtemos
\frac{\partial V}{\partial x}=2x.
  • Para y: termo -y^{2}
\frac{\partial V}{\partial y}=-2y.
  • Para z: termo z^{2}
\frac{\partial V}{\partial z}=2z.
Comentário: ao derivar em relação a uma variável, os termos que não dependem dessa variável são tratados como constantes e desaparecem.

Passo 4

Calcular as segundas derivadas parciais (cada uma derivando novamente a respectiva primeira derivada).
  • Derivando \frac{\partial V}{\partial x}=2x em relação a x:
\frac{\partial^{2}V}{\partial x^{2}}=2.
  • Derivando \frac{\partial V}{\partial y}=-2y em relação a y:
\frac{\partial^{2}V}{\partial y^{2}}=-2.
  • Derivando \frac{\partial V}{\partial z}=2z em relação a z:
\frac{\partial^{2}V}{\partial z^{2}}=2.
Observação: as segundas derivadas são constantes aqui porque as primeiras derivadas são lineares.

Passo 5

Somar as segundas derivadas para obter o Laplaciano.
\nabla^{2}V=\frac{\partial^{2}V}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}V}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}V}{\partial z^{2}}=2+(-2)+2=2.
Portanto \nabla^{2}V=2 para todo (x,y,z). Como o Laplaciano não é zero, V não satisfaz a equação de Laplace.
Comentário físico rápido (opcional para fixar): em eletrostática, com a convenção usual \nabla^{2}\Phi=-\rho/\varepsilon_{0}, um \nabla^{2}V=2 corresponderia a uma densidade de carga uniforme \rho=-2\varepsilon_{0}. Isso mostra que V não é potencial livre de fontes.

Resposta

Não. \nabla^{2}V=2

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