Determine se os seguintes potenciais satisfazem a equação de Laplace:
Passo 1
O enunciado pede para determinar se o potencial dado satisfaz a equação de Laplace. Informação fornecida:
- O potencial é
.
A pergunta explícita é:satisfaz a equação de Laplace em ?
Passo 2
O que é a equação de Laplace e como vamos testar isso.
- A equação de Laplace para uma função
é
- O operador Laplaciano
em coordenadas cartesianas é a soma das segundas derivadas parciais:
Explicando:
significa “derivar
em relação a
duas vezes, mantendo
fixos”. O plano é calcular cada segunda derivada e somá-las; se o resultado for zero para todos
então
é harmônica (satisfaz Laplace).
Passo 3
Calcular as primeiras derivadas parciais de
.
- Para
: como tem termo , derivando uma vez obtemos
- Para
: termo dá
- Para
: termo dá
Comentário: ao derivar em relação a uma variável, os termos que não dependem dessa variável são tratados como constantes e desaparecem.
Passo 4
Calcular as segundas derivadas parciais (cada uma derivando novamente a respectiva primeira derivada).
- Derivando
em relação a :
- Derivando
em relação a :
- Derivando
em relação a :
Observação: as segundas derivadas são constantes aqui porque as primeiras derivadas são lineares.
Passo 5
Somar as segundas derivadas para obter o Laplaciano.
Portanto
para todo
. Como o Laplaciano não é zero,
não satisfaz a equação de Laplace.
Comentário físico rápido (opcional para fixar): em eletrostática, com a convenção usual
, um
corresponderia a uma densidade de carga uniforme
. Isso mostra que
não é potencial livre de fontes.
Resposta
Não.