10- Efetue os dois lados do teorema da divergência para o campo: \vec{F}=\left(4 x-x^{2}\right) \vec{a} x-3 y^{2} z^{2} \vec{a} y-\left(2 y^{3} z^{2}+z\right) \vec{a} z na região 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1,0 \leq z \leq 1.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\vec{F}=(4x-x^{2})\vec{a}_x-3y^{2}z^{2}\vec{a}_y-\bigl(2y^{3}z^{2}+z\bigr)\vec{a}_z
e a região cúbica
0\le x\le1,\qquad 0\le y\le1,\qquad 0\le z\le1.
O que é pedido: calcular os “dois lados do teorema da divergência”, ou seja
  • o lado do volume: \displaystyle \iiint_{V}(\nabla\!\cdot\!\vec{F})\,dV;
  • o lado da superfície: \displaystyle \iint_{\partial V}\vec{F}\cdot\hat{n}\,dS,
    onde \hat{n} é o vetor normal unitário apontando para fora da região.

Passo 2

Lembrete prático do que vamos usar (sem pular etapas):
  • O teorema da divergência diz
\iint_{\partial V}\vec{F}\cdot\hat{n}\,dS=\iiint_{V}(\nabla\!\cdot\!\vec{F})\,dV.
Aqui \nabla\!\cdot\!\vec{F} (a divergência) é a soma das derivadas parciais das componentes de \vec{F}:
\nabla\!\cdot\!\vec{F}=\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}.
Vou calcular primeiro \nabla\!\cdot\!\vec{F}, integrar em volume e depois calcular o fluxo na superfície somando as contribuições das seis faces do cubo (cada face é um quadrado de área 1).

Passo 3

Calcular \nabla\!\cdot\!\vec{F} componente a componente (mostrar cada derivada):
  • A componente x é F_x=4x-x^{2}. Então
\frac{\partial F_x}{\partial x}=4-2x.
  • A componente y é F_y=-3y^{2}z^{2}. Aqui z é tratada como constante ao derivar em y, então
\frac{\partial F_y}{\partial y}=-6y z^{2}.
  • A componente z é F_z=-(2y^{3}z^{2}+z). Derivando em z (com y constante):
\frac{\partial F_z}{\partial z}=-(4y^{3}z+1).
Somando:
\nabla\!\cdot\!\vec{F}=(4-2x)+(-6y z^{2})+(-4y^{3}z-1).
Agrupando termos semelhantes:
\nabla\!\cdot\!\vec{F}=3-2x-6y z^{2}-4y^{3}z.

Passo 4

Calcular o lado do volume \displaystyle \iiint_{V}(\nabla\!\cdot\!\vec{F})\,dV sobre o cubo unitário. Como a região é produto cartesiano, integras termo a termo:
\iiint_{V}(3-2x-6y z^{2}-4y^{3}z)\,dV =\iiint_{V}3\,dV-\iiint_{V}2x\,dV-\iiint_{V}6y z^{2}\,dV-\iiint_{V}4y^{3}z\,dV.
Calcule cada integral separadamente (todas as integrais vão de 0 a 1 em cada variável):
  1. \displaystyle \iiint_{V}3\,dV=3\cdot\text{Vol}(V)=3\cdot1=3.
  2. \displaystyle \iiint_{V}2x\,dV =2\left(\int_{0}^{1}x\,dx\right)\left(\int_{0}^{1}dy\right)\left(\int_{0}^{1}dz\right) =2\cdot\frac{1}{2}\cdot1\cdot1=1.
Portanto essa contribuição é -1.
  1. \displaystyle \iiint_{V}6y z^{2}\,dV =6\left(\int_{0}^{1}y\,dy\right)\left(\int_{0}^{1}z^{2}\,dz\right)\left(\int_{0}^{1}dx\right) =6\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}\cdot1=6\cdot\frac{1}{6}=1.
Portanto essa contribuição é -1.
  1. \displaystyle \iiint_{V}4y^{3}z\,dV =4\left(\int_{0}^{1}y^{3}\,dy\right)\left(\int_{0}^{1}z\,dz\right)\left(\int_{0}^{1}dx\right) =4\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}\cdot1=4\cdot\frac{1}{8}=\frac{1}{2}.
Portanto essa contribuição é -\tfrac{1}{2}.
Somando todas as partes:
3-1-1-\tfrac{1}{2}= \tfrac{1}{2}.
Logo o lado do volume vale \dfrac{1}{2}.

Passo 5

Agora vamos calcular o fluxo pela superfície \iint_{\partial V}\vec{F}\cdot\hat{n}\,dS somando as seis faces. Para cada face, identificar normal exterior e avaliar \vec{F} naquela face.
As faces e seus vetores normais (para fora do cubo):
  • x=0: \hat{n}=-\vec{a}_x.
  • x=1: \hat{n}=+\vec{a}_x.
  • y=0: \hat{n}=-\vec{a}_y.
  • y=1: \hat{n}=+\vec{a}_y.
  • z=0: \hat{n}=-\vec{a}_z.
  • z=1: \hat{n}=+\vec{a}_z.
Calcule face a face (cada face é um quadrado unitário com área 1, então a integral dupla reduz a uma integral simples em uma variável quando a função depende só dela):
  1. Face x=0. Aqui F_x=4x-x^{2}=0 no ponto x=0. O produto escalar \vec{F}\cdot(-\vec{a}_x)=-F_x=0. Fluxo desta face: 0.
  2. Face x=1. Aqui F_x=4(1)-1^{2}=3. Normal é +\vec{a}_x, então \vec{F}\cdot\hat{n}=F_x=3. Área é 1, portanto fluxo desta face: 3.
  3. Face y=0. Aqui F_y=-3y^{2}z^{2}=0 em y=0. Produto escalar com -\vec{a}_y 0. Fluxo: 0.
  4. Face y=1. Aqui F_y=-3(1)^{2}z^{2}=-3z^{2}. Normal é +\vec{a}_y, então \vec{F}\cdot\hat{n}=F_y=-3z^{2}. Integrando sobre x e z:
\iint_{y=1}\vec{F}\cdot\hat{n}\,dS=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}(-3z^{2})\,dx\,dz =\int_{0}^{1}(-3z^{2})\cdot\left(\int_{0}^{1}dx\right)dz =\int_{0}^{1}(-3z^{2})\,dz=-3\cdot\frac{1}{3}=-1.
  1. Face z=0. Aqui F_z=-(2y^{3}z^{2}+z)=0 em z=0. Produto escalar com -\vec{a}_z 0. Fluxo: 0.
  2. Face z=1. Aqui F_z=-(2y^{3}\cdot1^{2}+1)=-(2y^{3}+1). Normal é +\vec{a}_z, então \vec{F}\cdot\hat{n}=F_z=-(2y^{3}+1). Integrando sobre x e y:
\iint_{z=1}\vec{F}\cdot\hat{n}\,dS =\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}-(2y^{3}+1)\,dx\,dy =\int_{0}^{1}-(2y^{3}+1)\cdot\left(\int_{0}^{1}dx\right)dy =\int_{0}^{1}-(2y^{3}+1)\,dy.
Calcule:
\int_{0}^{1}-(2y^{3}+1)\,dy= -\Bigl(2\cdot\frac{1}{4}+1\Bigr)=-\Bigl(\frac{1}{2}+1\Bigr)=-\frac{3}{2}.
Agora somar os fluxos das seis faces:
0 + 3 + 0 -1 + 0 -\frac{3}{2}=3-1-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}.
Portanto o fluxo pela superfície também é \dfrac{1}{2}.

Passo 6

Conclusão e checagem: o lado do volume e o lado da superfície coincidem, ambos valendo \dfrac{1}{2}, conforme o teorema da divergência.

Resposta

Integral de volume (lado da divergência): \dfrac{1}{2}
Fluxo pela superfície (lado da superfície): \dfrac{1}{2}

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