10- Efetue os dois lados do teorema da divergência para o campo:
na região
.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e a região cúbica
O que é pedido: calcular os “dois lados do teorema da divergência”, ou seja
- o lado do volume:
; - o lado da superfície:
,
ondeé o vetor normal unitário apontando para fora da região.
Passo 2
Lembrete prático do que vamos usar (sem pular etapas):
- O teorema da divergência diz
Aqui
(a divergência) é a soma das derivadas parciais das componentes de
:
Vou calcular primeiro
, integrar em volume e depois calcular o fluxo na superfície somando as contribuições das seis faces do cubo (cada face é um quadrado de área
).
Passo 3
Calcular
componente a componente (mostrar cada derivada):
- A componente
é . Então
- A componente
é . Aqui é tratada como constante ao derivar em , então
- A componente
é . Derivando em (com constante):
Somando:
Agrupando termos semelhantes:
Passo 4
Calcular o lado do volume
sobre o cubo unitário. Como a região é produto cartesiano, integras termo a termo:
Calcule cada integral separadamente (todas as integrais vão de
a
em cada variável):
Portanto essa contribuição é
.
Portanto essa contribuição é
.
Portanto essa contribuição é
.
Somando todas as partes:
Logo o lado do volume vale
.
Passo 5
Agora vamos calcular o fluxo pela superfície
somando as seis faces. Para cada face, identificar normal exterior e avaliar
naquela face.
As faces e seus vetores normais (para fora do cubo):
-
: . -
: . -
: . -
: . -
: . -
: .
Calcule face a face (cada face é um quadrado unitário com área
, então a integral dupla reduz a uma integral simples em uma variável quando a função depende só dela):
-
Face
. Aqui no ponto . O produto escalar . Fluxo desta face: -
Face
. Aqui . Normal é , então . Área é , portanto fluxo desta face: . -
Face
. Aqui em . Produto escalar com dá . Fluxo: -
Face
. Aqui . Normal é , então . Integrando sobre e :
-
Face
. Aqui em . Produto escalar com dá . Fluxo: -
Face
. Aqui . Normal é , então . Integrando sobre e :
Calcule:
Agora somar os fluxos das seis faces:
Portanto o fluxo pela superfície também é
.
Passo 6
Conclusão e checagem: o lado do volume e o lado da superfície coincidem, ambos valendo
, conforme o teorema da divergência.
Resposta
Integral de volume (lado da divergência):
Fluxo pela superfície (lado da superfície):
Fluxo pela superfície (lado da superfície):