Determine se os seguintes potenciais satisfazem a equação de Laplace:
V=r \cos \theta+\varphi

Passo 1

O enunciado dá o potencial
V = r\cos\theta + \varphi
e pede para determinar se ele satisfaz a equação de Laplace (isto é, se \nabla^2 V=0).
Informações relevantes e observações sobre a notação (há ambiguidade que vou tratar explicitamente):
  • Foi fornecida a expressão V=r\cos\theta+\varphi.
  • Aqui existe ambiguidade sobre o que significa \varphi:
    • Interpretação A: \varphi é uma constante (um deslocamento escalar).
    • Interpretação B: \varphi é a coordenada azimutal (ou seja, a variável angular \varphi em coordenadas esféricas ou cilíndricas). Para evitar confusão, chamarei a coordenada azimutal de \varphi quando fizer essa interpretação.
  • Vou verificar ambas as interpretações, porque cada uma é plausível a partir do enunciado e ambas podem ser pedidas numa prova.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vou usar (explicando o que cada símbolo significa):
  • A equação de Laplace é \nabla^2 V = 0. Uma função V que satisfaz isso é chamada harmônica.
  • Em coordenadas polares bidimensionais (r,\theta) a expressão do Laplaciano é
\nabla^2 V = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(r\frac{\partial V}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 V}{\partial\theta^2}.
Aqui \partial/\partial r e \partial/\partial\theta são derivadas parciais em relação a r e \theta.
  • Em coordenadas esféricas (r,\theta,\varphi) (onde \theta é o ângulo polar medido desde o eixo z e \varphi é o azimute) o Laplaciano é
\nabla^2 V = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(r^2\frac{\partial V}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\!\left(\sin\theta\frac{\partial V}{\partial\theta}\right)+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2 V}{\partial\varphi^2}.
  • Vou aplicar a fórmula apropriada conforme a interpretação adotada.

Passo 3

Interpretação A: \varphi é constante. Nesse caso V é uma função de (r,\theta) em 2D polar:
V(r,\theta)=r\cos\theta+\varphi,\qquad \varphi=\text{constante}.
Calcule as derivadas parciais passo a passo:
  • Derivada em relação a r:
\frac{\partial V}{\partial r}=\cos\theta.
  • Agora calcule r\frac{\partial V}{\partial r}=r\cos\theta e a derivada radial completa:
\frac{\partial}{\partial r}\!\left(r\frac{\partial V}{\partial r}\right)=\frac{\partial}{\partial r}(r\cos\theta)=\cos\theta.
  • Termo angular: primeiro derivada em \theta:
\frac{\partial V}{\partial\theta}=\frac{\partial}{\partial\theta}(r\cos\theta+\varphi)=-r\sin\theta.
  • Segunda derivada em \theta:
\frac{\partial^2 V}{\partial\theta^2}=\frac{\partial}{\partial\theta}(-r\sin\theta)=-r\cos\theta.
Agora substitua na expressão do Laplaciano em polares:
\nabla^2 V=\frac{1}{r}\bigl(\cos\theta\bigr)+\frac{1}{r^2}\bigl(-r\cos\theta\bigr).
Simplificando cada termo:
\frac{1}{r}\cos\theta=\frac{\cos\theta}{r},\qquad \frac{1}{r^2}(-r\cos\theta)=-\frac{\cos\theta}{r}.
Somando:
\nabla^2 V=\frac{\cos\theta}{r}-\frac{\cos\theta}{r}=0.
Portanto, sob a interpretação A ( \varphi constante), \nabla^2 V=0: o potencial é harmônico e satisfaz a equação de Laplace.

Passo 4

Interpretação B: \varphi é a coordenada azimutal, que vou denotar por \varphi para ficar explícito. Então
V(r,\theta,\varphi)=r\cos\theta+\varphi.
Aqui r\cos\theta é a componente z usualmente (em esféricas), e há dependência explícita linear em \varphi. Use o Laplaciano em coordenadas esféricas (mostrado no Passo 2). Calcule as derivadas:
  • Derivada radial:
\frac{\partial V}{\partial r}=\cos\theta.
Então
r^2\frac{\partial V}{\partial r}=r^2\cos\theta,\qquad \frac{\partial}{\partial r}\!\left(r^2\frac{\partial V}{\partial r}\right)=\frac{\partial}{\partial r}(r^2\cos\theta)=2r\cos\theta.
O primeiro termo do Laplaciano fica
\frac{1}{r^2}\cdot 2r\cos\theta=\frac{2\cos\theta}{r}.
  • Derivadas em \theta:
\frac{\partial V}{\partial\theta}=\frac{\partial}{\partial\theta}(r\cos\theta+\varphi)=-r\sin\theta,
\sin\theta\frac{\partial V}{\partial\theta}=-r\sin^2\theta,
\frac{\partial}{\partial\theta}\!\left(\sin\theta\frac{\partial V}{\partial\theta}\right)=\frac{\partial}{\partial\theta}(-r\sin^2\theta)=-2r\sin\theta\cos\theta.
O segundo termo do Laplaciano é
\frac{1}{r^2\sin\theta}\cdot \bigl(-2r\sin\theta\cos\theta\bigr)=-\frac{2\cos\theta}{r}.
  • Derivada em \varphi:
\frac{\partial V}{\partial\varphi}=1,\qquad \frac{\partial^2 V}{\partial\varphi^2}=0,
portanto o terceiro termo do Laplaciano (com 1/(r^2\sin^2\theta)) é zero.
Somando os três termos:
\nabla^2 V=\frac{2\cos\theta}{r}-\frac{2\cos\theta}{r}+0=0.
Portanto, sob a interpretação B ( \varphi coordenada azimutal), também \nabla^2 V=0: o potencial é harmônico.

Passo 5

Interpretação e conclusão explicada com calma:
  • Se \varphi é uma constante, o termo \varphi não contribui para derivadas e a combinação de termos do Laplaciano em coordenadas polares cancela exatamente, dando \nabla^2 V=0.
  • Se \varphi representa a coordenada azimutal \varphi, ao usar o Laplaciano em coordenadas esféricas novamente os termos positivos e negativos se cancelam e obtemos \nabla^2 V=0.
    Em ambas as interpretações razoáveis do enunciado, o potencial V=r\cos\theta+\varphi satisfaz a equação de Laplace.

Resposta

Sim: \nabla^2 V=0, ou seja, V=r\cos\theta+\varphi satisfaz a equação de Laplace.

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