Determine se os seguintes potenciais satisfazem a equação de Laplace:
Passo 1
O enunciado dá o potencial
e pede para determinar se ele satisfaz a equação de Laplace (isto é, se
).
Informações relevantes e observações sobre a notação (há ambiguidade que vou tratar explicitamente):
Informações relevantes e observações sobre a notação (há ambiguidade que vou tratar explicitamente):
- Foi fornecida a expressão
. - Aqui existe ambiguidade sobre o que significa
: - Interpretação A:
é uma constante (um deslocamento escalar). - Interpretação B:
é a coordenada azimutal (ou seja, a variável angular em coordenadas esféricas ou cilíndricas). Para evitar confusão, chamarei a coordenada azimutal de quando fizer essa interpretação.
- Interpretação A:
- Vou verificar ambas as interpretações, porque cada uma é plausível a partir do enunciado e ambas podem ser pedidas numa prova.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vou usar (explicando o que cada símbolo significa):
- A equação de Laplace é
. Uma função que satisfaz isso é chamada harmônica. - Em coordenadas polares bidimensionais
a expressão do Laplaciano é
Aqui
e
são derivadas parciais em relação a
e
.
- Em coordenadas esféricas
(onde é o ângulo polar medido desde o eixo e é o azimute) o Laplaciano é
- Vou aplicar a fórmula apropriada conforme a interpretação adotada.
Passo 3
Interpretação A:
é constante. Nesse caso
é uma função de
em 2D polar:
Calcule as derivadas parciais passo a passo:
- Derivada em relação a
:
- Agora calcule
e a derivada radial completa:
- Termo angular: primeiro derivada em
:
- Segunda derivada em
:
Agora substitua na expressão do Laplaciano em polares:
Simplificando cada termo:
Somando:
Portanto, sob a interpretação A (
constante),
: o potencial é harmônico e satisfaz a equação de Laplace.
Passo 4
Interpretação B:
é a coordenada azimutal, que vou denotar por
para ficar explícito. Então
Aqui
é a componente
usualmente (em esféricas), e há dependência explícita linear em
. Use o Laplaciano em coordenadas esféricas (mostrado no Passo 2). Calcule as derivadas:
- Derivada radial:
Então
O primeiro termo do Laplaciano fica
- Derivadas em
:
O segundo termo do Laplaciano é
- Derivada em
:
portanto o terceiro termo do Laplaciano (com
) é zero.
Somando os três termos:
Somando os três termos:
Portanto, sob a interpretação B (
coordenada azimutal), também
: o potencial é harmônico.
Passo 5
Interpretação e conclusão explicada com calma:
- Se
é uma constante, o termo não contribui para derivadas e a combinação de termos do Laplaciano em coordenadas polares cancela exatamente, dando . - Se
representa a coordenada azimutal , ao usar o Laplaciano em coordenadas esféricas novamente os termos positivos e negativos se cancelam e obtemos .
Em ambas as interpretações razoáveis do enunciado, o potencialsatisfaz a equação de Laplace.
Resposta
Sim:
, ou seja,
satisfaz a equação de Laplace.