Determine se as seguintes séries convergem ou divergem.
18.)
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{4 n+3}{3 n-5}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado pede para decidir convergência ou divergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{4n+3}{3n-5}\right)^{n}.
Este é um caso típico para aplicar o teste da raiz de séries de termos positivos.

Passo 2

Seja a_{n} = \bigl((4n+3)/(3n-5)\bigr)^{n}. O teste da raiz diz que devemos calcular
L = \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_{n}}.
Se L<1, a série converge; se L>1, a série diverge; se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

Primeiro notamos que
\sqrt[n]{a_{n}} = \sqrt[n]{\biggl(\frac{4n+3}{3n-5}\biggr)^{n}} = \frac{4n+3}{3n-5}.
Agora calculamos o limite quando n\to\infty:
L = \lim_{n\to\infty}\frac{4n+3}{3n-5} = \frac{4}{3}.

Passo 4

Como L = 4/3 > 1, o teste da raiz garante que a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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