Determine se as seguintes séries convergem ou divergem.
20.)
\sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{2}{n}\right)^{n^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(1 - \tfrac{2}{n}\bigr)^{n^{2}}
converge ou diverge. O conteúdo aqui é teste de convergência de séries numéricas, em especial o teste da raiz, e vamos usar também o limite
\lim_{n\to\infty}\Bigl(1 + \tfrac{x}{n}\Bigr)^{n} = e^{x}.

Passo 2

Definimos
a_{n} = \bigl(1 - \tfrac{2}{n}\bigr)^{n^{2}}
e aplicamos o teste da raiz, que diz para calcular
L = \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\bigl|a_{n}\bigr|}.
Se L<1 a série \sum a_{n} converge absolutamente (e, portanto, converge); se L>1 diverge; se L=1 o teste não conclui.

Passo 3

Note que
\sqrt[n]{\bigl|a_{n}\bigr|} = \bigl|1 - \tfrac{2}{n}\bigr|^{n}
e, para n grande, 1 - \tfrac{2}{n}>0, logo
\sqrt[n]{\bigl|a_{n}\bigr|} = \Bigl(1 - \tfrac{2}{n}\Bigr)^{n}.
Usando o limite exponencial, temos
\lim_{n\to\infty}\Bigl(1 - \tfrac{2}{n}\Bigr)^{n} = e^{-2}.

Passo 4

Como
L = e^{-2} < 1,
o teste da raiz garante que \sum a_{n} converge absolutamente. Logo a série converge.

Resposta

A série converge.

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