Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma. 14.) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n+3}-3^{4+n}}{5^{n-2}} Passo 1O enunciado pede para estudar a convergência da série \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n+3}-3^{n+4}}{5^{n-2}} e, se convergir, calcular sua soma. O conteúdo principal aqui é a soma de séries geométricas, cuja fórmula é \sum_{n=1}^{\infty}r^n=\frac{r}{1-r},\quad\text{para }|r|<1. Passo 2Vamos escrever o termo geral de modo a ver duas séries geométricas. Note que 2^{n+3}=8\cdot2^n,\quad 3^{n+4}=81\cdot3^n,\quad 5^{n-2}=\frac{5^n}{5^2}= \frac{5^n}{25}. Logo, \frac{2^{n+3}-3^{n+4}}{5^{n-2}} =25\;\frac{8\cdot2^n-81\cdot3^n}{5^n} =25\Bigl(8\bigl(\tfrac{2}{5}\bigr)^n-81\bigl(\tfrac{3}{5}\bigr)^n\Bigr). Assim a série se separa em 25\sum_{n=1}^{\infty}8\bigl(\tfrac{2}{5}\bigr)^n \;-\;25\sum_{n=1}^{\infty}81\bigl(\tfrac{3}{5}\bigr)^n. Passo 3Como \bigl|\tfrac{2}{5}\bigr|<1 e \bigl|\tfrac{3}{5}\bigr|<1, cada soma é geométrica convergente: \sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\tfrac{2}{5}\Bigr)^n =\frac{\tfrac{2}{5}}{1-\tfrac{2}{5}}=\frac{2/5}{3/5}=\frac{2}{3}, \sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\tfrac{3}{5}\Bigr)^n =\frac{\tfrac{3}{5}}{1-\tfrac{3}{5}}=\frac{3/5}{2/5}=\frac{3}{2}. Multiplicando pelos coeficientes: 8\cdot\frac{2}{3}=\frac{16}{3}, \qquad 81\cdot\frac{3}{2}=\frac{243}{2}. Logo o conteúdo entre parênteses é \frac{16}{3}-\frac{243}{2} =\frac{32-729}{6} =-\frac{697}{6}. Passo 4Finalmente, multiplicando por 25, 25\cdot\Bigl(-\tfrac{697}{6}\Bigr) =-\frac{17425}{6}. Portanto a série converge e sua soma é -\tfrac{17425}{6}. RespostaA série converge e \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n+3}-3^{n+4}}{5^{n-2}} =-\frac{17425}{6}. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosDetermine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma. 12.) \sum_{n=2}^{\infty}(-3)^{n+1} 2^{3-4 n} Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma. 12.) \sum_{n=2}^{\infty}(-3)^{n+1} 2^{3-4 n} Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma. 14.) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n+3}-3^{4+n}}{5^{n-2}} Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma. 17.) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^{2 n}}{(-6)^{4-n}}