Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
14.)
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n+3}-3^{4+n}}{5^{n-2}}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n+3}-3^{n+4}}{5^{n-2}}
e, se convergir, calcular sua soma.
O conteúdo principal aqui é a soma de séries geométricas, cuja fórmula é
\sum_{n=1}^{\infty}r^n=\frac{r}{1-r},\quad\text{para }|r|<1.

Passo 2

Vamos escrever o termo geral de modo a ver duas séries geométricas. Note que
2^{n+3}=8\cdot2^n,\quad 3^{n+4}=81\cdot3^n,\quad 5^{n-2}=\frac{5^n}{5^2}= \frac{5^n}{25}.
Logo,
\frac{2^{n+3}-3^{n+4}}{5^{n-2}} =25\;\frac{8\cdot2^n-81\cdot3^n}{5^n} =25\Bigl(8\bigl(\tfrac{2}{5}\bigr)^n-81\bigl(\tfrac{3}{5}\bigr)^n\Bigr).
Assim a série se separa em
25\sum_{n=1}^{\infty}8\bigl(\tfrac{2}{5}\bigr)^n \;-\;25\sum_{n=1}^{\infty}81\bigl(\tfrac{3}{5}\bigr)^n.

Passo 3

Como \bigl|\tfrac{2}{5}\bigr|<1 e \bigl|\tfrac{3}{5}\bigr|<1, cada soma é geométrica convergente:
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\tfrac{2}{5}\Bigr)^n =\frac{\tfrac{2}{5}}{1-\tfrac{2}{5}}=\frac{2/5}{3/5}=\frac{2}{3},
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\tfrac{3}{5}\Bigr)^n =\frac{\tfrac{3}{5}}{1-\tfrac{3}{5}}=\frac{3/5}{2/5}=\frac{3}{2}.
Multiplicando pelos coeficientes:
8\cdot\frac{2}{3}=\frac{16}{3}, \qquad 81\cdot\frac{3}{2}=\frac{243}{2}.
Logo o conteúdo entre parênteses é
\frac{16}{3}-\frac{243}{2} =\frac{32-729}{6} =-\frac{697}{6}.

Passo 4

Finalmente, multiplicando por 25,
25\cdot\Bigl(-\tfrac{697}{6}\Bigr) =-\frac{17425}{6}.
Portanto a série converge e sua soma é -\tfrac{17425}{6}.

Resposta

A série converge e
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n+3}-3^{n+4}}{5^{n-2}} =-\frac{17425}{6}.

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