Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
12.)
\sum_{n=2}^{\infty}(-3)^{n+1} 2^{3-4 n}

Passo 1

O enunciado pede para determinar a convergência da série
\sum_{n=2}^{\infty}(-3)^{n+1}2^{3-4n}
e, se convergir, calcular sua soma. O conteúdo envolvido é séries geométricas e vamos precisar reconhecer uma razão r com \lvert r\rvert<1.

Passo 2

Vamos simplificar o termo geral
(-3)^{n+1}2^{3-4n} =2^3\;(-3)^{n+1}\;2^{-4n} =8\;(-3)^{n+1}\;(2^{-4})^{n} =8\;(-3)^{n+1}\;\Bigl(\tfrac1{16}\Bigr)^{n}.
Como (-3)^{n+1}=(-3)\,(-3)^n, isso vira
8\cdot(-3)\;\frac{(-3)^n}{16^n} =-24\;\Bigl(-\tfrac{3}{16}\Bigr)^n.

Passo 3

Logo a série pode ser escrita como
\sum_{n=2}^{\infty}(-3)^{n+1}2^{3-4n} =-24\sum_{n=2}^{\infty}\Bigl(-\tfrac{3}{16}\Bigr)^n.
Trata-se de uma série geométrica com razão \displaystyle r=-\tfrac{3}{16}, e \lvert r\rvert=\tfrac{3}{16}<1, portanto converge.

Passo 4

Para uma série geométrica \sum_{n=2}^{\infty}r^n a soma é
\sum_{n=2}^{\infty}r^n =\frac{r^2}{1-r}.
Aplicando aqui, obtemos
-24\;\frac{\bigl(-\tfrac{3}{16}\bigr)^2}{1-(-\tfrac{3}{16})} =-24\;\frac{\tfrac{9}{256}}{1+\tfrac{3}{16}} =-24\;\frac{\tfrac{9}{256}}{\tfrac{19}{16}} =-24\;\frac{9}{256}\;\frac{16}{19}.

Passo 5

Bastará simplificar:
-24\;\frac{9}{256}\;\frac{16}{19} =-\frac{24\cdot9\cdot16}{256\cdot19} =-\frac{3456}{4864} =-\frac{27}{38}.

Resposta

A série converge e sua soma é -\tfrac{27}{38}.

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