Determine se os seguintes sinais são ou não periódicos. Em caso afirmativo, determine qual seu período.
x(t)=\cos (12 t)+\cos (12 \pi t)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o sinal
x(t)=\cos(12\,t)+\cos\bigl(12\pi\,t\bigr)
é periódico e, em caso afirmativo, calcular seu período. O conteúdo que vamos usar é que uma soma de cossenos é periódica se, e somente se, as razões entre suas periodicidades (ou frequências) forem números racionais.

Passo 2

Calculemos os períodos de cada termo isoladamente. Para \cos(12\,t), a frequência angular é \omega_{1}=12, logo seu período é
T_{1}=\frac{2\pi}{\omega_{1}}=\frac{2\pi}{12}=\frac{\pi}{6}.
Para \cos\bigl(12\pi\,t\bigr), a frequência angular é \omega_{2}=12\pi, logo
T_{2}=\frac{2\pi}{\omega_{2}}=\frac{2\pi}{12\pi}=\frac{1}{6}.

Passo 3

Para que haja um período comum T é necessário que a razão
\frac{T_{1}}{T_{2}}
seja racional. Aqui
\frac{T_{1}}{T_{2}} =\frac{\pi/6}{1/6} =\pi,
e \pi é um número irracional. Consequentemente não existe T que seja múltiplo inteiro de T_{1} e de T_{2} ao mesmo tempo.

Resposta

O sinal x(t) não é periódico.

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