Determine se os seguintes sinais são ou não periódicos. Em caso afirmativo, determine qual seu período.
x(t)=\operatorname{sen}(7 \pi t)+\cos (8 \pi t+\pi / 10)

Passo 1

O enunciado pede para a gente verificar se o sinal
x(t) = \sin\bigl(7\pi t\bigr) \;+\;\cos\bigl(8\pi t + \tfrac{\pi}{10}\bigr)
é periódico e, em caso afirmativo, achar seu período. O conteúdo aqui é soma de senóides. Sabemos que cada termo é periódico e que a soma será periódica se a razão entre seus períodos for racional.

Passo 2

Primeiro identificamos as frequências angulares de cada termo: \omega_1 = 7\pi para \sin(7\pi t) e \omega_2 = 8\pi para \cos(8\pi t+\tfrac{\pi}{10}).
A partir disso, cada período é dado por
T_1 = \frac{2\pi}{\omega_1} = \frac{2\pi}{7\pi} = \frac{2}{7},
T_2 = \frac{2\pi}{\omega_2} = \frac{2\pi}{8\pi} = \frac{1}{4}.

Passo 3

Para a soma ser periódica, a razão T_1/T_2 deve ser um número racional. Calculamos
\frac{T_1}{T_2} = \frac{\tfrac{2}{7}}{\tfrac{1}{4}} = \frac{2}{7} \cdot 4 = \frac{8}{7},
que de fato é racional. Portanto, x(t) é periódico.

Passo 4

O período fundamental T_0 satisfaz n\,T_1 = m\,T_2 para inteiros positivos n,m. Da igualdade
n\cdot\frac{2}{7} \;=\; m\cdot\frac{1}{4} \quad\Longrightarrow\quad \frac{2n}{7} = \frac{m}{4} \quad\Longrightarrow\quad 8n = 7m.
O menor par (n,m) que satisfaz isso é n=7 e m=8. Logo
T_0 = 7\,T_1 = 7\cdot\frac{2}{7} = 2 \quad(\text{igual a }8\,T_2=8\cdot\tfrac{1}{4}=2).

Resposta

O sinal é periódico e seu período fundamental é T_0 = 2.

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