Determine se os seguintes sinais são ou não periódicos. Em caso afirmativo, determine qual seu período.
x(t)=\operatorname{sen}(4 \pi t)+\cos (12 \pi t)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o sinal
x(t)=\operatorname{sen}\bigl(4\pi t\bigr)+\cos\bigl(12\pi t\bigr)
é periódico e, em caso afirmativo, encontrar seu período. O que precisamos lembrar é que cada termo \operatorname{sen}(\omega t) ou \cos(\omega t) é periódico com período
T = \frac{2\pi}{\omega},
e que a soma de sinais periódicos é periódica só se a razão entre seus períodos for racional.

Passo 2

Calculamos os períodos dos dois termos separadamente.
Para \operatorname{sen}(4\pi t) temos \omega_1 = 4\pi, logo
T_1 = \frac{2\pi}{\omega_1} = \frac{2\pi}{4\pi} = \frac12\\ \text{s}.
Para \cos(12\pi t) temos \omega_2 = 12\pi, logo
T_2 = \frac{2\pi}{\omega_2} = \frac{2\pi}{12\pi} = \frac16\\ \text{s}.

Passo 3

Agora verificamos se T_1/T_2 é racional:
\frac{T_1}{T_2} = \frac{1/2}{1/6} = 3,
que é um número inteiro (logo racional). Isso garante que a soma é periódica.
Para achar o período fundamental, buscamos o menor T que seja múltiplo inteiro de T_1 e de T_2. Note que
T = T_1 = \tfrac12\\ \text{s}
já satisfaz
\frac{T}{T_1}=1\quad\text{e}\quad\frac{T}{T_2}=3,
ambos inteiros.

Resposta

O sinal é periódico e seu período fundamental é T = \tfrac12 s.

Exercícios relacionados