Determine quais dos seguintes subconjuntos do plano são círculos. Caso afirmativo, ache o centro C e o raio r. Caso negativo, identifique o subconjunto.
\mathcal{S}=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2}-2 x+4 y-3=0\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se o subconjunto
\mathcal{S}=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}-2x+4y-3=0\}
é um círculo. Se for, encontrar o centro C e o raio r. As informações relevantes são somente a equação dada da forma quadrática em x e y.

Passo 2

Ideia geral e fórmula prática (explicação didática do método que vou usar).
Uma equação quadrática de dois variáveis do tipo
x^{2}+y^{2}+D x+E y+F=0
pode representar um círculo (ou algo degenerado) quando os termos quadráticos têm coeficiente igual e não há termo xy. Para colocar essa equação na forma padrão de um círculo, completa-se quadrados em x e em y. Fazendo isso de forma genérica obtemos a fórmula do centro e do raio:
Começando por
x^{2}+D x = \left(x+\frac{D}{2}\right)^{2}-\left(\frac{D}{2}\right)^{2}, \qquad y^{2}+E y = \left(y+\frac{E}{2}\right)^{2}-\left(\frac{E}{2}\right)^{2}.
Somando e substituindo na equação inicial:
\left(x+\frac{D}{2}\right)^{2}+\left(y+\frac{E}{2}\right)^{2} - \left(\frac{D}{2}\right)^{2}-\left(\frac{E}{2}\right)^{2}+F=0.
Isolando os quadrados:
\left(x+\frac{D}{2}\right)^{2}+\left(y+\frac{E}{2}\right)^{2} = \left(\frac{D}{2}\right)^{2}+\left(\frac{E}{2}\right)^{2}-F.
Portanto, se o lado direito for positivo, a equação representa um círculo com centro
C=\left(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2}\right)
e raio
r=\sqrt{\left(\frac{D}{2}\right)^{2}+\left(\frac{E}{2}\right)^{2}-F}.
Se o lado direito for zero, é um ponto; se for negativo, não há pontos reais (conjunto vazio).

Passo 3

Identificar os coeficientes na equação dada. A equação do enunciado é
x^{2}+y^{2}-2x+4y-3=0,
comparando com x^{2}+y^{2}+D x+E y+F=0 obtemos
D=-2,\qquad E=4,\qquad F=-3.

Passo 4

Calcular o centro usando a fórmula. Temos
C=\left(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2}\right) = \left(-\frac{-2}{2},-\frac{4}{2}\right) = \left(1,-2\right).

Passo 5

Calcular o raio usando a fórmula. Primeiro o termo dentro da raiz:
\left(\frac{D}{2}\right)^{2}+\left(\frac{E}{2}\right)^{2}-F = \left(\frac{-2}{2}\right)^{2}+\left(\frac{4}{2}\right)^{2}-(-3) = (-1)^{2}+2^{2}+3 = 1+4+3=8.
Logo
r=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.
O valor dentro da raiz é positivo, portanto a equação realmente representa um círculo (não é ponto isolado nem vazio).

Passo 6

Verificação alternativa (completar quadrados diretamente passo a passo), para fixar o método:
x^{2}-2x=(x-1)^{2}-1,\qquad y^{2}+4y=(y+2)^{2}-4.
Substituindo na equação original:
(x-1)^{2}-1+(y+2)^{2}-4-3=0
\Rightarrow (x-1)^{2}+(y+2)^{2}-8=0
\Rightarrow (x-1)^{2}+(y+2)^{2}=8,
o que confirma centro C=(1,-2) e raio r=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.
Força aí — esse tipo de completar quadrados cai muito em prova; pratique com mais exemplos rápidos se der tempo!

Resposta

C=(1,-2)
r=2\sqrt{2}

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