Determine quais dos seguintes subconjuntos do plano são círculos. Caso afirmativo, ache o centro
e o raio
. Caso negativo, identifique o subconjunto.
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se o subconjunto
é um círculo. Se for, encontrar o centro
e o raio
. As informações relevantes são somente a equação dada da forma quadrática em
e
.
Passo 2
Ideia geral e fórmula prática (explicação didática do método que vou usar).
Uma equação quadrática de dois variáveis do tipo
Uma equação quadrática de dois variáveis do tipo
pode representar um círculo (ou algo degenerado) quando os termos quadráticos têm coeficiente igual e não há termo
. Para colocar essa equação na forma padrão de um círculo, completa-se quadrados em
e em
. Fazendo isso de forma genérica obtemos a fórmula do centro e do raio:
Começando por
Somando e substituindo na equação inicial:
Isolando os quadrados:
Portanto, se o lado direito for positivo, a equação representa um círculo com centro
e raio
Se o lado direito for zero, é um ponto; se for negativo, não há pontos reais (conjunto vazio).
Passo 3
Identificar os coeficientes na equação dada. A equação do enunciado é
comparando com
obtemos
Passo 4
Calcular o centro usando a fórmula. Temos
Passo 5
Calcular o raio usando a fórmula. Primeiro o termo dentro da raiz:
Logo
O valor dentro da raiz é positivo, portanto a equação realmente representa um círculo (não é ponto isolado nem vazio).
Passo 6
Verificação alternativa (completar quadrados diretamente passo a passo), para fixar o método:
Substituindo na equação original:
o que confirma centro
e raio
.
Força aí — esse tipo de completar quadrados cai muito em prova; pratique com mais exemplos rápidos se der tempo!