Determine quais dos seguintes subconjuntos do plano são círculos. Caso afirmativo, ache o centro C e o raio r. Caso negativo, identifique o subconjunto.
\mathcal{S}=\left\{(x, y) \mid 4 x^{2}+4 y^{2}-4 x+8 y-23=0\right\}.

Passo 1

O enunciado dá um subconjunto do plano definido pela equação
4x^{2}+4y^{2}-4x+8y-23=0
e pede para determinar se esse subconjunto é um círculo. Se for círculo, encontrar o centro C e o raio r. Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • Uma equação algébrica de segundo grau envolvendo x e y;
  • Não há restrições adicionais (domínio é todo o plano salvo imposições pela equação).
    O que precisamos responder: se a curva é um círculo; em caso afirmativo, fornecer C e r.

Passo 2

Ideia do método (sem resolver ainda): uma equação no plano representa um círculo quando pode ser escrita na forma padrão
(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2},
onde (a,b) é o centro e r>0 é o raio. Para chegar a essa forma a partir de um polinômio quadrático em x e y com coeficientes iguais nas quadráticas (ou dividindo para igualar), usamos o procedimento de completar o quadrado em x e em y. Vou aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Primeiro simplifico a equação dividindo tudo por 4 para facilitar os coeficientes das partes quadráticas:
x^{2}+y^{2}-x+2y-\frac{23}{4}=0.
Reagrupo os termos em x e em y:
(x^{2}-x)+(y^{2}+2y)=\frac{23}{4}.

Passo 4

Agora completo o quadrado em cada grupo.
  • Para x^{2}-x: a fórmula de completar o quadrado para x^{2}+px é x^{2}+px=\bigl(x+\tfrac{p}{2}\bigr)^{2}-\bigl(\tfrac{p}{2}\bigr)^{2}. Aqui p=-1, então
x^{2}-x=\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}-\frac{1}{4}.
  • Para y^{2}+2y: aqui p=2, então
y^{2}+2y=(y+1)^{2}-1.
Substituindo essas expressões na equação do passo anterior:
\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}-\frac{1}{4}+\left(y+1\right)^{2}-1=\frac{23}{4}.

Passo 5

Agrupo as constantes no lado direito:
\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(y+1\right)^{2}=\frac{23}{4}+\frac{1}{4}+1.
Calculo as frações:
\frac{23}{4}+\frac{1}{4}+1=\frac{23+1+4}{4}=\frac{28}{4}=7.
Portanto a equação fica
\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(y+1\right)^{2}=7.
Isto já está exatamente na forma padrão de um círculo com r^{2}=7.

Passo 6

Interpretação final:
  • A equação está na forma (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2} com a=\tfrac{1}{2}, b=-1 e r^{2}=7.
  • Como r^{2}=7>0, temos um círculo de raio r=\sqrt{7} e centro C=\left(\tfrac{1}{2},-1\right).
Força aí — fizemos completar quadrado passo a passo e saiu certinho: é um círculo.

Resposta

C=\left(\dfrac{1}{2},-1\right)
r=\sqrt{7}

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