Determine quais dos seguintes subconjuntos do plano são círculos. Caso afirmativo, ache o centro
e o raio
. Caso negativo, identifique o subconjunto.
.
Passo 1
O enunciado dá um subconjunto do plano definido pela equação
e pede para determinar se esse subconjunto é um círculo. Se for círculo, encontrar o centro
e o raio
. Informações relevantes que o enunciado fornece:
- Uma equação algébrica de segundo grau envolvendo
e ; - Não há restrições adicionais (domínio é todo o plano salvo imposições pela equação).
O que precisamos responder: se a curva é um círculo; em caso afirmativo, fornecere .
Passo 2
Ideia do método (sem resolver ainda): uma equação no plano representa um círculo quando pode ser escrita na forma padrão
onde
é o centro e
é o raio. Para chegar a essa forma a partir de um polinômio quadrático em
e
com coeficientes iguais nas quadráticas (ou dividindo para igualar), usamos o procedimento de completar o quadrado em
e em
. Vou aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Primeiro simplifico a equação dividindo tudo por
para facilitar os coeficientes das partes quadráticas:
Reagrupo os termos em
e em
:
Passo 4
Agora completo o quadrado em cada grupo.
- Para
: a fórmula de completar o quadrado para é . Aqui , então
- Para
: aqui , então
Substituindo essas expressões na equação do passo anterior:
Passo 5
Agrupo as constantes no lado direito:
Calculo as frações:
Portanto a equação fica
Isto já está exatamente na forma padrão de um círculo com
.
Passo 6
Interpretação final:
- A equação está na forma
com , e . - Como
, temos um círculo de raio e centro .
Força aí — fizemos completar quadrado passo a passo e saiu certinho: é um círculo.