Determine a segunda derivada de cada função dada abaixo:
f(x)=\operatorname{cossec} x

Passo 1

O enunciado pede a segunda derivada da função f(x)=\cossec x, isto é, f(x)=\csc x. Vamos usar as derivadas de funções trigonométricas, aplicar regra do produto e, ao final, simplificar com identidades como \csc^2 x=1+\cot^2 x.

Passo 2

Primeiro, calculamos a primeira derivada lembrando que
\frac{d}{dx}(\csc x)=-\csc x\,\cot x.
Portanto,
f'(x)=-\csc x\,\cot x.

Passo 3

Para obter a segunda derivada, escrevemos f'(x) como produto de
u(x)=-\csc x \quad\text{e}\quad v(x)=\cot x.
Calculamos
u'(x)=-\frac{d}{dx}(\csc x)=-(-\csc x\,\cot x)=\csc x\,\cot x,
v'(x)=\frac{d}{dx}(\cot x)=-\csc^2 x.
Pela regra do produto,
f''(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x) =(\csc x\,\cot x)\,\cot x+(-\csc x)\,(-\csc^2 x).

Passo 4

Distribuindo e agrupando termos:
f''(x)=\csc x\,\cot^2 x+\csc^3 x =\csc x\bigl(\cot^2 x+\csc^2 x\bigr).
Usando \csc^2 x=1+\cot^2 x, obtemos formas alternativas:
f''(x)=\csc x\bigl(2\cot^2 x+1\bigr) \quad\text{ou}\quad f''(x)=2\csc^3 x-\csc x.

Resposta

f''(x)=\csc x\bigl(\cot^2 x+\csc^2 x\bigr).

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