Determine a segunda derivada de cada função dada abaixo:
f(x)=\operatorname{sec} x

Passo 1

O enunciado pede a segunda derivada de f(x)=\operatorname{sec} x. Para isso vamos usar a regra de derivação de funções trigonométricas, em particular
– a derivada de \operatorname{sec} x é \operatorname{sec} x\tan x,
– a derivada de \tan x é \operatorname{sec}^2 x,
e também a regra do produto para obter f''(x).

Passo 2

Primeiro encontramos a primeira derivada aplicando a regra direta à função \operatorname{sec} x:
f'(x)=\frac{d}{dx}[\operatorname{sec} x]=\operatorname{sec} x\tan x.

Passo 3

Agora calculamos a segunda derivada usando a regra do produto em f'(x)=\operatorname{sec} x\tan x. Sejam u=\operatorname{sec} x e v=\tan x. Então
f''(x)=u'v+uv' =\bigl(\operatorname{sec} x\tan x\bigr)\tan x+\operatorname{sec} x\bigl(\operatorname{sec}^2 x\bigr).

Passo 4

Vamos simplificar a expressão:
f''(x) =\operatorname{sec} x\tan^2 x+\operatorname{sec}^3 x.
Usando a identidade trigonométrica \tan^2 x=\operatorname{sec}^2 x-1, temos
\tan^2 x+\operatorname{sec}^2 x=(\operatorname{sec}^2 x-1)+\operatorname{sec}^2 x=2\operatorname{sec}^2 x-1
e portanto
f''(x)=\operatorname{sec} x\bigl(2\operatorname{sec}^2 x-1\bigr) =2\operatorname{sec}^3 x-\operatorname{sec} x.

Resposta

f''(x)=2\operatorname{sec}^3 x-\operatorname{sec} x.

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