Determine partial fpartial x e partial fpartial y, sendo f(x, y)=llx+y^42 x^2+y^2 & , se (x, y) neq(0,0) 0 & , se (x, y)=(0,0).

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de
f(x,y)= dfracx+y^42x^2+y^2,& (x,y)neq(0,0),[6pt] 0,&(x,y)=(0,0)
Para (x,y)neq(0,0) vamos usar a regra do quociente. Para o ponto (0,0) aplicamos a definição de derivada parcial como limite de diferença quociente ao longo dos eixos.]

Passo 2

Seja
N(x,y)=x+y^4, D(x,y)=2x^2+y^2,
então f=N/D. Calculamos
partial fpartial x =D,partial Npartial x-N,partial Dpartial xD^2 =(2x^2+y^2)cdot 1-(x+y^4)cdot 4x(2x^2+y^2)^2
Simplificando o numerador:
2x^2+y^2-4x^2-4xy^4 =-(2x^2)+y^2-4xy^4,
logo, para (x,y)neq(0,0),
partial fpartial x =y^2-2x^2-4x,y^4(2x^2+y^2)^2

Passo 3

De modo análogo,
partial fpartial y =D,partial Npartial y-N,partial Dpartial yD^2 =(2x^2+y^2)cdot 4y^3-(x+y^4)cdot 2y(2x^2+y^2)^2
No numerador temos
8x^2y^3+4y^5-2xy-2y^5 =8x^2y^3+2y^5-2x,y,
logo, para (x,y)neq(0,0),
partial fpartial y =8x^2y^3+2y^5-2x,y(2x^2+y^2)^2

Passo 4

Agora em (0,0). Pela definição,
partial fpartial x(0,0) =limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto0h+02h^2+0-0h =limhto012h^2,
que diverge. Logo partial f/partial x(0,0) não existe.
Para partial f/partial y:
partial fpartial y(0,0) =limkto0f(0,k)-0k =limkto00+k^40+k^2k =limkto0k^2k =limkto0k =0

Resposta

Para (x,y)neq(0,0):
partial fpartial x =y^2-2x^2-4x,y^4(2x^2+y^2)^2, partial fpartial y =8x^2y^3+2y^5-2x,y(2x^2+y^2)^2
Em (0,0):
partial fpartial x(0,0) não existe, partial fpartial y(0,0)=0 ã

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